Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 561198

Найти все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

f(x)=ax плюс |x в квадрате минус 4x плюс 3|

больше 1.

Спрятать решение

Решение.

Раскрыв модуль получим, что

f(x)= система выражений x в квадрате минус (4 минус a)x плюс 3, при x в квадрате минус 4x плюс 3 больше 0, минус x в квадрате плюс (4 плюс a)x минус 3, при x в квадрате минус 4x плюс 3\leqslant0. конец системы .

На лучах ( минус принадлежит fty; 1] и [3; плюс принадлежит fty) график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. На отрезке [1; 3] график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Наименьшее значение функции достигается либо на краях отрезка [1; 3] или в вершине параболы, ветви которой направлены вверх, то есть в одной из трёх точек x_1=1, x_2=3 или x_0= дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби при условии x_0\notin [1; 3]. Для выполнения условия задачи должен быть выполнен один из двух случаев:

 система выражений совокупность выражений x_0 меньше 1,x_0 больше 3, конец системы . f(x_0) больше 1, конец совокупности . или система выражений 1 меньше или равно x_0\leqslant3,f(1) больше 1,f(3) больше 1. конец системы . \endalign }.

То есть

 совокупность выражений система выражений совокупность выражений дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1, дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби больше 3, конец системы . левая круглая скобка дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: (4 минус a) в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс 3 больше 1, конец совокупности . система выражений 1 меньше или равно дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant3,a больше 1,3a больше 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений совокупность выражений a больше 2,a меньше минус 2, конец системы . левая круглая скобка дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: (4 минус a) в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс 3 больше 1, конец совокупности . система выражений минус 2 меньше или равно a\leqslant2,a больше 1,3a больше 1 конец системы . конец совокупности . равносильно

 равносильно совокупность выражений система выражений совокупность выражений a больше 2,a меньше минус 2, конец системы . 4 минус 2 корень из 2 меньше a меньше 4 плюс 2 корень из 2 , конец совокупности . система выражений минус 2 меньше или равно a\leqslant2,a больше 1,a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 меньше a меньше 4 плюс 2 корень из 2 ,1 меньше a\leqslant2 конец совокупности . равносильно 1 меньше a меньше 4 плюс 2 корень из 2 .

Ответ:  левая круглая скобка 1; 4 плюс 2 корень из 2 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 485938: 485946 503150 511452 561198 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 347.
Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра