Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 503150

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=2ax плюс |x в квадрате минус 8x плюс 7| больше 1.

Спрятать решение

Решение.

При x в квадрате минус 8x плюс 7 больше или равно 0 получаем, что f(x)=x в квадрате плюс 2(a минус 4)x плюс 7. График этой функции на рассматриваемом промежутке состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=4 минус a. При x в квадрате минус 8x плюс 7 меньше 0 находим f(x)= минус x в квадрате плюс (2a плюс 8)x минус 7, а график этой функции на рассматриваемом промежутке — часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Наименьшее значение функции f(x) может принять только в точках x=1, x=7 или x=4 минус a. Поэтому наименьшее значение функции f(x) больше 1 тогда и только тогда, когда:

 система выражений  новая строка f(1) больше 1,  новая строка f(7) больше 1,  новая строка f(4 минус a) больше 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка 2a больше 1,  новая строка 14a больше 1,  новая строка 2a(4 минус a) плюс |a в квадрате минус 9| больше 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,  новая строка 2a в квадрате минус 8a плюс 1 минус |a в квадрате минус 9| меньше 0. конец системы .

Если  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 3, то второе неравенство принимает вид  3a в квадрате минус 8a минус 8 меньше 0, откуда  дробь: числитель: 4 минус корень из (40) , знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 4 плюс корень из (40) , знаменатель: 3 конец дроби . Этот промежуток содержит интервал  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 3 правая круглая скобка .

Если a\geqslant3, то a в квадрате минус 8a плюс 10 меньше 0, откуда  4 минус корень из (6) меньше a меньше 4 плюс корень из (6) . Значит, 3 меньше или равно a меньше 4 плюс корень из (6) .

Объединяя найденные промежутки, получаем:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 4 плюс корень из (6) .

 

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 4 плюс корень из (6) .

 

 

Приведём другое решение.

1. При x в квадрате минус 8x плюс 7 больше или равно 0 функция принимает вид: f(x)=x в квадрате плюс 2(a минус 4)x плюс 7, а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии x=4 минус a.

При x в квадрате минус 8x плюс 7 меньше 0 функция принимает вид: f(x)= минус x в квадрате плюс 2(a плюс 4)x минус 7, а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз и осью симметрии x=4 плюс a.

Возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках.

2. Наименьшее значение функция f(x) может принимать только в точках x=1 или x=7, а если 4 минус a\notin [1,7] (то есть при |a| больше 3), то в точке x=4 минус a.

3. Следовательно, наименьшее значение функции f(x) больше 1 тогда и только тогда, когда:

 совокупность выражений система выражений f(1) больше 1, f(7) больше 1, |a| меньше или равно 3, конец системы . система выражений f(4 минус a) больше 1, |a| больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений 2a больше 1, 14a больше 1, |a| меньше или равно 3, конец системы . система выражений (a минус 4) в квадрате минус 2(a минус 4) в квадрате плюс 7 больше 1 |a| больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , a больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби , |a| меньше или равно 3, конец системы . система выражений (a минус 4) в квадрате меньше 6, |a| больше 3 конец системы . конец совокупности . равносильно

 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше или равно 3, система выражений 4 минус корень из (6) меньше a меньше 4 плюс корень из (6) , |a| больше 3, конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a\leqslant3, 3 меньше a меньше 4 плюс корень из (6) конец совокупности . равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 4 плюс корень из (6) .

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,4 плюс корень из (6) правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 485938: 485946 503150 511452 561198 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2014 по математике.
Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра
Методы алгебры: Группировка