Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 485938

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

f(x)=4ax плюс \left| x в квадрате минус 6x . плюс \left. 5 |

больше, чем  минус 24.

Спрятать решение

Решение.

При x в квадрате минус 6x плюс 5 меньше или равно 0, то есть на отрезке [1; 5] функция имеет вид

f(x)=4ax минус (x в квадрате минус 6x плюс 5)= минус x в квадрате плюс 2(2a плюс 3)x минус 5,

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка [1; 5] функция имеет вид

f(x)=4ax плюс (x в квадрате минус 6x плюс 5)=x в квадрате плюс 2(2a минус 3)x плюс 5,

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=3 минус 2a. Возможное расположение этих парабол показано на рисунках.

Если 3 минус 2a принадлежит отрезку [1,5], то наименьшее значение функция может принимать только в точках x=1 и x=5. Если 3 минус 2a принадлежит ( минус принадлежит fty,1]\cup[5, плюс принадлежит fty) — то в точке x=3 минус 2a.

Наименьшее значение функции f(x) больше  минус 24 тогда и только тогда, когда либо

 система выражений 3 минус 2a принадлежит [1,5], f(1) больше минус 24, f(5) больше минус 24, конец системы . либо  система выражений 3 минус 2a принадлежит ( минус принадлежит fty,1]\cup[5, плюс принадлежит fty), f(3 минус 2a) больше минус 24. конец системы .

Решим первую систему:

 система выражений минус 1 меньше или равно a меньше или равно 1, 4a больше минус 24, 20a больше минус 24 конец системы . равносильно минус 1 меньше или равно a меньше или равно 1.

Решим вторую систему:

 система выражений a принадлежит левая круглая скобка минус принадлежит fty, минус 1 правая круглая скобка \cup (1, плюс принадлежит fty ), \left| 2a минус \left. 3 | . меньше корень из (29) конец системы . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 3 минус корень из (29, знаменатель: ) конец дроби 2 меньше a меньше минус 1, 1 меньше a меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из (29, знаменатель: ) конец дроби 2. конец совокупности .

 

Ответ: \a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 минус корень из (29) , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3 плюс корень из (29) , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

 

 

Приведём другое решение.

При x в квадрате минус 6x плюс 5 меньше или равно 0, то есть на отрезке [1; 5] функция имеет вид

f(x)=4ax минус (x в квадрате минус 6x плюс 5)= минус x в квадрате плюс 2(2a плюс 3)x минус 5,

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка [1; 5] функция имеет вид

f(x)=4ax плюс (x в квадрате минус 6x плюс 5)=x в квадрате плюс 2(2a минус 3)x плюс 5,

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=3 минус 2a.

Следовательно, наименьшее значение функция f(x) может принять только в точках x=1, x=5 или x=3 минус 2a. Поэтому наименьшее значение функции f(x) больше −24 тогда и только тогда, когда: f(1) больше минус 24, f(5) больше минус 24 и f(3 минус 2a) больше минус 24. Имеем:

 система выражений 4a больше минус 24, 20a больше минус 24, |2a минус 3| меньше корень из (29) конец системы . равносильно система выражений a больше минус 6, a больше минус дробь: числитель: 24, знаменатель: 20 конец дроби , дробь: числитель: 3 минус корень из (29, знаменатель: ) конец дроби 2 меньше a меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из (29, знаменатель: ) конец дроби 2, конец системы . равносильно дробь: числитель: 3 минус корень из (29, знаменатель: ) конец дроби 2 меньше a меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из (29, знаменатель: ) конец дроби 2.

Приведём ещё одно решение.

Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Следовательно, она достигает своего наименьшего значения. А потому, наименьшее значение больше −24 тогда и только тогда, когда все значения функции больше −24. Поэтому необходимо и достаточно найти такие значения параметра, при которых неравенство

4ax плюс |x в квадрате минус 6x плюс 5| больше минус 24

верно для всех х.

Запишем неравенство в виде |x в квадрате минус 6x плюс 5| больше минус 4ax минус 24 и положим k = минус 4a. Определим значения k, при которых график левой части уравнения лежит выше графика правой части. График правой части — прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через точку (0; −24). График левой части — парабола y= x в квадрате минус 6x плюс 5, с отраженной частью, лежащей ниже оси абсцисс (см. рис.).

Найдем точки касания прямой у= kх минус 24 и параболы y= x в квадрате минус 6x плюс 5. Для этого приравняем к нулю дискриминант квадратного уравнения y= x в квадрате минус (6 плюс k)x плюс 29:

(6 плюс k) в квадрате минус 4 умножить на 29 = 0 равносильно k в квадрате плюс 12 k минус 80 равносильно 6 минус 2 корень из (29) меньше k меньше 6 плюс 2 корень из (29) .

Все найденные значения k подходят.

Возвращаясь к параметру a, получаем:

 дробь: числитель: 3 минус корень из (29, знаменатель: ) конец дроби 2 меньше a меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из (29, знаменатель: ) конец дроби 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке 2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 485938: 485946 503150 511452 561198 Все

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра
Методы алгебры: Группировка
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Силаева Екатерина 09.03.2016 00:19

в первой системе должно быть не 3-2а, а 2а+3 --это координата вершины первой параболы, у которой ветви вниз

Александр Иванов

Екатерина, нет. Это координата вершины параболы, у которой ветви вверх. В этом идея решения. Если эта вершина присутствует на графике, то минимум именно в ней, а если эта вершина "исчезает" с графика (из-за модуля), то минимальные значения могут быть в точках х=1 и х=5

Айдар Шигапов 25.03.2016 19:18

я согласен с Екатериной

у вас получается что обе параболы имеют одну и ту же икс вершину

Александр Иванов

А я по-прежнему не согласен с Екатериной.

У нас речь идет о вершине только одной параболы, у которой ветви вверх. О вершине второй параболы речи нет вообще.

Борис Синицын 11.07.2016 19:41

От­ку­да вы взяли ко­рень из 29 ? Это число ранее нигде не упо­ми­на­лось.

Борис Синицын

из решения неравенства f(3 минус 2a) больше минус 24

Алёна Таскина 30.03.2017 21:17

При решении неравенства f(3-2a) нужно раскрыть скобки и решить неравенство относительно а. Нельзя решать уравнение относительно 3-2а, так как при этом переменную выражаем через переменную. Тем более нельзя сводить данное неравенство к неравенству "дискриминант < 0", ведь функция принимает положительное значение и при положительном дискриминанте.

Александр Иванов

Алена, можно решить любым верным способом.

1. Нет запрета на выражение переменной через переменную.

2. Значение функции в вершине параболы y=ax в квадрате плюс bx плюс c равно y(x_0)= минус дробь: числитель: D, знаменатель: 4a конец дроби . Поэтому для решения неравенства y(x_0) больше 0, учитывая, что a=1, достаточно решить неравенство  минус D больше 0.

3. Если Вы пойдёте своим путем и выразите f(3 минус 2a) через a, решите неравенство, то получите такой же результат.