При то есть на отрезке функция имеет вид

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка функция имеет вид

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии Возможное расположение этих парабол показано на рисунках.

Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если  — то в точке

Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Ответ:

Приведём другое решение.

При то есть на отрезке функция имеет вид

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка функция имеет вид

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии

Следовательно, наименьшее значение функция может принять только в точках или Поэтому наименьшее значение функции больше −24 тогда и только тогда, когда: и Имеем:

Приведём ещё одно решение.

Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Следовательно, она достигает своего наименьшего значения. А потому, наименьшее значение больше −24 тогда и только тогда, когда все значения функции больше −24. Поэтому необходимо и достаточно найти такие значения параметра, при которых неравенство

верно для всех х.

Запишем неравенство в виде и положим Определим значения k, при которых график левой части уравнения лежит выше графика правой части. График правой части — прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через точку (0; −24). График левой части — парабола с отраженной частью, лежащей ниже оси абсцисс (см. рис.).

Найдем точки касания прямой и параболы Для этого приравняем к нулю дискриминант квадратного уравнения

Все найденные значения k подходят.

Возвращаясь к параметру a, получаем: