ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 511452 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

$f(x)=6ax плюс \left| x в квадрате минус 6x . плюс \left. 5 |$

больше, чем $минус 24.$

Спрятать решение

Решение.

1. При $x в квадрате минус 6x плюс 5=(x минус 1)(x минус 5) меньше или равно 0 равносильно x принадлежит [1,5]$ функция имеет вид:

$f(x)=6ax минус (x в квадрате минус 6x плюс 5)= минус x в квадрате плюс 2(3a плюс 3)x минус 5,$

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При $x в квадрате минус 6x плюс 5=(x минус 1)(x минус 5) больше или равно 0 равносильно x принадлежит ( минус принадлежит fty,1]\cup[5, плюс принадлежит fty)$ функция имеет вид:

$f(x)=6ax плюс (x в квадрате минус 6x плюс 5)=x в квадрате плюс 2(3a минус 3)x плюс 5,$

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии $x=3 минус 3a.$

2. Если $3 минус 3a$ принадлежит отрезку $[1,5],$ то наименьшее значение функция может принимать только в точках $x=1$ и $x=5.$ Если $3 минус 3a принадлежит ( минус принадлежит fty,1]\cup[5, плюс принадлежит fty)$  — то еще и в точке $x=3 минус 3a.$

3. Наименьшее значение функции $f(x)$ больше $минус 24$ тогда и только тогда, когда либо

$система выражений новая строка 3 минус 3a принадлежит [1,5], новая строка f(1) больше минус 24, новая строка f(5) больше минус 24, конец системы .$ либо $система выражений новая строка 3 минус 3a принадлежит ( минус принадлежит fty,1]\cup[5, плюс принадлежит fty), новая строка f(3 минус 3a) больше минус 24. конец системы .$

Решим первую систему:

$система выражений новая строка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка 6a больше минус 24, новая строка 30a больше минус 24 конец системы . равносильно a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решим вторую систему:

$система выражений новая строка a принадлежит левая круглая скобка минус принадлежит fty, минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , плюс принадлежит fty правая круглая скобка , новая строка \left| 3a минус \left. 3 | . меньше корень из (29) конец системы . равносильно a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 минус корень из (29) , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 3 плюс корень из (29) , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $\a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 минус корень из (29) , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 3 плюс корень из (29) , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке	2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 485938: 485946 503150 511452 561198 Все

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Группировка

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь