Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 511452

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

f(x)=6ax плюс \left| x в квадрате минус 6x . плюс \left. 5 |

больше, чем  минус 24.

Спрятать решение

Решение.

1. При x в квадрате минус 6x плюс 5=(x минус 1)(x минус 5) меньше или равно 0 равносильно x принадлежит [1,5] функция имеет вид:

f(x)=6ax минус (x в квадрате минус 6x плюс 5)= минус x в квадрате плюс 2(3a плюс 3)x минус 5,

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При x в квадрате минус 6x плюс 5=(x минус 1)(x минус 5) больше или равно 0 равносильно x принадлежит ( минус принадлежит fty,1]\cup[5, плюс принадлежит fty) функция имеет вид:

f(x)=6ax плюс (x в квадрате минус 6x плюс 5)=x в квадрате плюс 2(3a минус 3)x плюс 5,

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии x=3 минус 3a.

2. Если 3 минус 3a принадлежит отрезку [1,5], то наименьшее значение функция может принимать только в точках x=1 и x=5. Если 3 минус 3a принадлежит ( минус принадлежит fty,1]\cup[5, плюс принадлежит fty) — то еще и в точке x=3 минус 3a.

3. Наименьшее значение функции f(x) больше  минус 24 тогда и только тогда, когда либо

 система выражений  новая строка 3 минус 3a принадлежит [1,5],  новая строка f(1) больше минус 24,  новая строка f(5) больше минус 24, конец системы . либо  система выражений  новая строка 3 минус 3a принадлежит ( минус принадлежит fty,1]\cup[5, плюс принадлежит fty),  новая строка f(3 минус 3a) больше минус 24. конец системы .

Решим первую систему:

 система выражений  новая строка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,  новая строка 6a больше минус 24,  новая строка 30a больше минус 24  конец системы . равносильно a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

Решим вторую систему:

 система выражений  новая строка a принадлежит левая круглая скобка минус принадлежит fty, минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , плюс принадлежит fty правая круглая скобка ,  новая строка \left| 3a минус \left. 3 | . меньше корень из (29) конец системы . равносильно a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 минус корень из (29) , знаменатель: 3 конец дроби , минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 3 плюс корень из (29) , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ: \a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 минус корень из (29) , знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 3 плюс корень из (29) , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке 2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 485938: 485946 503150 511452 561198 Все

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра
Методы алгебры: Группировка