Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 485946

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=4ax плюс | x в квадрате минус 10x . плюс \left. 21 | больше, чем  минус 42.

Спрятать решение

Решение.

1. Функция имеет вид:

a) при x в квадрате минус 10x плюс 21=(x минус 3)(x минус 7) больше или равно 0

f(x)=4ax плюс (x в квадрате минус 10x плюс 21)=x в квадрате плюс 2(2a минус 5)x плюс 21,

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии x=5 минус 2a;

б) при (x минус 3)(x минус 7) меньше или равно 0 равносильно 3 меньше или равно x меньше или равно 7

f(x)=4ax минус (x в квадрате минус 10x плюс 21)= минус x в квадрате плюс 2(2a плюс 5)x минус 21,

 

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

 

2. Если 5 минус 2a принадлежит отрезку [3;7] то наименьшее значение функция может принимать только в точках x=3 и x=7 Если 5 минус 2a \notin [3;7]  — то еще и в точке x=5 минус 2a.

 

3. Наименьшее значение функции f(x) больше  минус 42 тогда и только тогда, когда либо

 

 система выражений 5 минус 2a принадлежит [3;7], f(3) больше минус 42,  новая строка f(7) больше минус 42, конец системы . либо  система выражений  новая строка 5 минус 2a\notin [3;7],  новая строка f(3) больше минус 42,  новая строка f(7) больше минус 42,  новая строка f(5 минус 2a) больше минус 42. конец системы .

Решим первую систему:

 система выражений  новая строка минус 1 меньше или равно a меньше или равно 1,  новая строка 12a больше минус 42,  новая строка 28a больше минус 42; конец системы . равносильно минус 1 меньше или равно a меньше или равно 1

Решим вторую систему:

 система выражений  новая строка a принадлежит ( минус 1,5; минус 1)\cup (1; плюс принадлежит fty ),  новая строка \left| 2a минус \left. 5 | . меньше 3 корень из (7) ; конец системы . равносильно дробь: числитель: 5 минус 3 корень из (7) , знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше минус 1 или 1 меньше a меньше дробь: числитель: 5 плюс 3 корень из (7) , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 5 минус 3 корень из (7) , знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 5 плюс 3 корень из (7) , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ 4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен промежуток, содержащий верный ответ, либо содержащийся в верном промежутке2
Задача сведена к исследованию взаимного расположения частей двух парабол 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 485938: 485946 503150 511452 561198 Все

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Ольга Чубукова (Ярославль) 05.06.2012 10:52

Во второй системе включение f(3) и f(7) не обязательно, т. к. когда вершина на край нем левом или крайнем правом участке графика, именно в ней и будет наименьшее значение функции.Спасибо.