PDF-версии: 
Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем первое уравнение и запишем систему в виде
Заметим, что если тройка чисел 
является решением системы, то тройка чисел 
тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, должно выполняться равенство 
Тогда
Теперь заметим, что если тройка чисел 
является решением системы, то тройка чисел 
тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, должно выполняться равенство 
Таким образом, единственным решением системы может быть только тройка чисел 
Эта тройка чисел является решением системы при 
Проверим, есть ли при 
решения системы, отличные от 
При 
графиком уравнения (⁎) в системе координат xOy является окружность с центром в точке 
и радиусом 
а графиком уравнения (⁎⁎) — прямая 
которая касается этой окружности в точке 
При любых других допустимых значениях z расстояние от центра окружности до прямой больше 
а радиус окружности меньше и система не имеет решений. Значит, при система имеет единственное решение
Ответ: 2.
Примечание Дмитрия Сузана.
Отсутствие решений кроме 
можно доказать иначе. Пусть имеется точка с координатами 
Если она лежит на сфере, ее координаты должны удовлетворять условию
то есть 
Тогда 
однако из уравнения 
следует, что 
Значит, 
и тогда из третьего уравнения следует, что 
Подставляя 
и в первое уравнение, получим 
откуда 
Следовательно, 
то есть при других решений нет.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной. | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |