а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ние пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁  — тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB  =  AC  =  8, а один из углов равен 60°. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка P так, что AP : PA₁  =  1 : 2. Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и B₁C₁ равно

а)  До­ка­жи­те, что ос­но­ва­ния высот тре­уголь­ни­ков ABC и PBC, про­ве­ден­ных к сто­ро­не BC, сов­па­да­ют.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми ABC и CBP.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD, в ко­то­ром а AB  =  6, рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти. Окруж­ность с цен­тром в точке K, ра­ди­ус ко­то­рой равен 2, ка­са­ет­ся сто­рон AB и AD. Окруж­ность с цен­тром в точке L, ра­ди­ус ко­то­рой равен 1, ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD и пер­вой окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, K, L лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CLM, если M  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из вер­ши­ны B на пря­мую, про­хо­дя­щую через точки K и L.

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 600 тысяч руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐⁠го по 14‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко руб­лей уве­ли­чит­ся сумма вы­плат, если взять кре­дит с та­ки­ми же усло­ви­я­ми на 30 ме­ся­цев?

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

На сайте про­во­дит­ся опрос, кого из фут­бо­ли­стов по­се­ти­те­ли сайта счи­та­ют луч­шим по ито­гам се­зо­на. Каж­дый по­се­ти­тель го­ло­су­ет за од­но­го фут­бо­ли­ста. На сайте отоб­ра­жа­ет­ся рей­тинг каж­до­го фут­бо­ли­ста  — доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, в про­цен­тах, округ­лен­ная до це­ло­го числа. На­при­мер, числа 7,2; 9,5 и 11,8 округ­ля­ют­ся до 7; 10 и 12 со­от­вет­ствен­но.

а)   Всего про­го­ло­со­ва­ло 17 по­се­ти­те­лей сайта. Мог ли рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста быть рав­ным 27?

б)   Пусть по­се­ти­те­ли сайта от­да­ва­ли го­ло­са за од­но­го из трех фут­бо­ли­стов. Могла ли сумма рей­тин­гов быть боль­ше 100?

в)   На сайте отоб­ра­жа­лось, что рей­тинг не­ко­то­ро­го фут­бо­ли­ста равен 8. Это число не из­ме­ни­лось и после того, как Петя отдал свой голос за этого фут­бо­ли­ста. При каком наи­мень­шем числе от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов го­ло­сов, вклю­чая Петин голос, такое воз­мож­но?