Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 562007

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста  — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 7,2; 9,5 и 11,8 округляются до 7; 10 и 12 соответственно.

а)   Всего проголосовало 17 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 27?

б)   Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?

в)   На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 8. Это число не изменилось и после того, как Петя отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Петин голос, такое возможно?

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть за футболиста было отдано k голосов. Тогда должно выполняться неравенство 0,265 меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 17 конец дроби меньше 0,275, то есть 4,505 ≤ k < 4,675, что невозможно при целых k.

б)  Да. Пусть из 200 поданных голосов первые два футболиста получили по 1 голосу, а третий 198. Тогда рейтинги футболистов составят в сумме 1 + 1 + 99 = 101 > 100.

в)  Пусть было подано n голосов, не считая Петин, из них k были поданы за этого футболиста. Из условия получаем:

 система выражений 0,075 меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: n конец дроби меньше 0,085,0,075 меньше или равно дробь: числитель: k плюс 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби меньше 0,085 конец системы . равносильно система выражений 0,075n меньше или равно k меньше 0,085n,0,075n плюс 0,075 меньше или равно k плюс 1 меньше 0,085n плюс 0,085 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений 0,075n меньше или равно k меньше 0,085n,0,075n минус 0,925 меньше или равно k меньше 0,085n минус 0,915 конец системы . равносильно 0,075n меньше или равно k меньше 0,085n минус 0,915.

Следовательно, 0,075n < 0,085n − 0,915, откуда n > 91,5, а значит, n ≥ 92.

При n = 92 имеем

0,075n = 6,9 ≤ k < 0,085n − 0,915 = 6,905,

что невозможно при целом k. Заметим, что с увеличением n растут и 0,075n, и 0,085n − 0,915. Первое целое k, для которого неравенства могут быть выполнены одновременно, равно 7. Решая неравенство 0,085n − 0,915 > 7, находим, что минимальное подходящее n равно 94. Но при этом 0,075n > 7, поэтому 7 не лежит между этими числами.

Следующее потенциально подходящее k равно 8. Решая неравенство 0,085n − 0,915 > 8, находим, что минимальное подходящее n равно 105. При этом 0,075n = 7,875 < 8. Значит, минимально число голосов, считая Петин, равно 105 + 1 = 106.

 

Ответ: а) нет; б) да; в) 106.

 

Примечание.

Сравните приведенное решение с решениями заданий 505497 и 505475 из вариантов ЕГЭ 2014 года.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов аг1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 505497: 505475 529303 562007 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 350.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства