Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 529303

На сайте школы идет голосование на звание «Лучший ученик года», где каждый посетитель голосует только за одного из претендентов. Рейтинг каждого претендента (доля голосов, отданных за него) выражается в процентах, округленных до целого числа. Например, числа 9,3; 17,5 и 19,9 округляются до 9; 18 и 20 соответственно.

а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг одного из претендентов равняться 41?

б) Пусть претендентов четверо. Могла ли сумма рейтингов быть больше 100?

в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого претендента равнялся 5. Это число не изменилось и после того, как Игорь проголосовал за него. При каком наименьшем числе отданных за всех претендентов голосов, включая Игоря, такое возможно?

Решение.

а) Пусть k — число посетителей, проголосовавших за ученика. Заметим, что рейтинг ученика будет равен 41, если доля голосов, отданных за него, лежит в пределах от 40,5% до 41,5%. Таким образом, получаем двойное неравенство:

 дробь, числитель — 40,5, знаменатель — 100 меньше или равно дробь, числитель — k, знаменатель — 13 меньше дробь, числитель — 41,5, знаменатель — 100 равносильно 5,265 меньше или равно k меньше 5,395.

Число k — целое, следовательно, оно не может лежать в полученном интервале.

б) Пусть число проголосовавших равно 1000. Из них за первого ученика — 255 человек, за второго — 256, за третьего — 257, за последнего — остальные 232. Тогда их рейтинги равны 26 + 26 + 26 + 23 = 101 > 100.

в) Пусть k — число голосов, отданных за ученика, включая голос Игоря, n — общее число голосов. Заметим, что после того как Игорь отдал свой голос за данного ученика, доля голосов, отданных за этого ученика увеличилась, а рейтинг — нет. Получаем:

 дробь, числитель — 4,5, знаменатель — 100 меньше или равно дробь, числитель — k минус 1, знаменатель — n минус 1 меньше дробь, числитель — k, знаменатель — n меньше дробь, числитель — 5,5, знаменатель — 100 .

Представляя в виде системы двух неравенств получим:

 система выражений дробь, числитель — 9, знаменатель — 200 меньше или равно дробь, числитель — k минус 1, знаменатель — n минус 1 , дробь, числитель — k, знаменатель — n меньше дробь, числитель — 11, знаменатель — 200 конец системы равносильно система выражений 9n минус 9 меньше или равно 200k минус 200,200k меньше 11n конец системы равносильно 9n плюс 191 меньше или равно 200k меньше 11n \Rightarrow n больше 95,5.

Так как n — целое, то n больше или равно 96.

Учитывая, что должны выполняться все неравенства системы, получим:

1055 меньше или равно 9n плюс 191 меньше или равно 200 k \Rightarrow k больше 5,275.

Так как k — целое, то k больше или равно 6.

Тогда из неравенства 200k меньше 11n получаем:

1200 меньше или равно 200k меньше 11n \Rightarrow n больше 109,09...

Следовательно, n больше или равно 110.

При n=110, k=6 условие задачи выполнено. Значит, минимальное число проголосовавших при условиях, данных в задаче, равно 110.

 

Ответ: а) нет, б) да, в) 110.


Аналоги к заданию № 505497: 505475 529303 562007 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 289.