Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 505497

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно.

а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным 31. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?

б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше 100?

в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста рейтинг стал равен 9. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть k — количество посетителей сайта, проголосовавших за футболиста, без учёта голоса Васи. Рейтинг футболиста равен 31, откуда получаем двойное неравенство на k:

30,5 меньше или равно дробь: числитель: 100k, знаменатель: 13 конец дроби меньше 31,5.

Из этого условия можно найти k, но для упрощения вычислений лучше найти, при каком k рейтинг футболиста будет равен 31, и убедиться, что при значениях k на единицу меньших и на единицу больших этот рейтинг отличается от 31. Воспользуемся данным способом.

Заметим, что рейтинг чуть меньше одной третьей, поэтому разумно предположить, что k=4. Поскольку  дробь: числитель: 100 умножить на 4, знаменатель: 13 конец дроби \approx 30,7, при k=4 рейтинг футболиста, действительно, равен 31. Для k, равных 3 и 5, получаем, соответственно, значения рейтинга 23 и 38.

Найдём рейтинг футболиста с учётом Васиного голоса:

 дробь: числитель: левая круглая скобка 4 плюс 1 правая круглая скобка умножить на 100, знаменатель: 13 плюс 1 конец дроби \approx35,7.

Следовательно, рейтинг футболиста станет равен 36.

б) Такая ситуация возможна, если за одного футболиста проголосовало 0,495 человек от общего числа посетителей сайта, а за второго 0,505 посетителей сайта. Тогда рейтинг первого футболиста будет равен 50, второго — 51, суммарный рейтинг будет больше 100. Например, пусть общее число проголосовавших 20 000, за первого проголосовало 9900 человек, а за второго — 10 100. Тогда рейтинг первого футболиста 49,5 округляется до 50, а рейтинг второго — 50,5 округляется до 51.

в) Пусть количество проголосовавших за футболиста посетителей сайта с учётом голоса Васи равно k, а общее количество проголосовавших с учётом голоса Васи — n. Тогда получаем систему из двух двойных неравенств:

 система выражений  новая строка дробь: числитель: 6,5, знаменатель: 100 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k минус 1, знаменатель: n минус 1 конец дроби меньше дробь: числитель: 7,5, знаменатель: 100 конец дроби , новая строка дробь: числитель: 8,5, знаменатель: 100 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: n конец дроби меньше дробь: числитель: 9,5, знаменатель: 100 конец дроби конец системы равносильно система выражений  новая строка 13 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 200k минус 200 меньше 15 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , новая строка 17n меньше или равно 200k меньше 19n. конец системы

Запишем данную систему в виде системы четырёх неравенств:

 система выражений  новая строка 17n меньше или равно 200k,  новая строка 200k меньше 19n,  новая строка 13 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 200k минус 200,  новая строка 200k минус 200 меньше 15 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка . конец системы

Поскольку все числа в неравенствах целые, строгие неравенства можно заменять на нестрогие, вычитая из большего единицу. Используя первое и четвёртое неравенство, получаем:

17n минус 200 меньше или равно 200k минус 200 меньше 15 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка равносильно 17n меньше или равно 200k меньше или равно 15 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 200 минус 1 равносильно 17n меньше или равно 15 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 199 равносильно n меньше или равно 92.

Используя, что n меньше или равно 92, из последнего неравенства системы получаем:

200k минус 200 меньше 15 умножить на 91 равносильно k меньше 7,825.

Поскольку k — целое, то k меньше или равно 7. Тогда снова из первого неравенства системы получаем:

17n меньше или равно 200 умножить на 7 равносильно n меньше или равно целая часть: 82, дробная часть: числитель: 6, знаменатель: 7 .

Следовательно, n меньше или равно 82.

Покажем, что полученная оценка достигается. При n=82 и k=7, получим  дробь: числитель: 7, знаменатель: 82 конец дроби умножить на 100 больше 8,53, следовательно, рейтинг будет равен 9. Без Васиного голоса  дробь: числитель: 6, знаменатель: 81 конец дроби умножить на 100 меньше 7,5, следовательно, рейтинг будет равен 7.

Таким образом, наибольшее число отданных за всех футболистов голосов при условиях, приведённых в задаче равно 82.

 

Ответ: а) 36; б) да; в) 82.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 505497: 505475 529303 562007 Все

Источник: ЕГЭ по математике 05.06.2014. Основная волна. Восток. Вариант 2.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства