а)  Пусть k  — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта, про­го­ло­со­вав­ших за фут­бо­ли­ста, без учёта го­ло­са Васи. Рей­тинг фут­бо­ли­ста равен 31, от­ку­да по­лу­ча­ем двой­ное не­ра­вен­ство на

Из этого усло­вия можно найти k, но для упро­ще­ния вы­чис­ле­ний лучше найти, при каком k рей­тинг фут­бо­ли­ста будет равен 31, и убе­дить­ся, что при зна­че­ни­ях k, на еди­ни­цу мень­ших и на еди­ни­цу боль­ших, этот рей­тинг от­ли­ча­ет­ся от 31. Вос­поль­зу­ем­ся дан­ным спо­со­бом.

За­ме­тим, что рей­тинг чуть мень­ше одной тре­тьей, по­это­му ра­зум­но пред­по­ло­жить, что По­сколь­ку при рей­тинг фут­бо­ли­ста дей­стви­тель­но равен 31. Для k, рав­ных 3 и 5, по­лу­ча­ем со­от­вет­ствен­но зна­че­ния рей­тин­га 23 и 38.

Найдём рей­тинг фут­бо­ли­ста с учётом Ва­си­но­го го­ло­са:

Сле­до­ва­тель­но, рей­тинг фут­бо­ли­ста ста­нет равен 36.

б)  Такая си­ту­а­ция воз­мож­на, если за од­но­го фут­бо­ли­ста про­го­ло­со­ва­ло 0,495 че­ло­век от об­ще­го числа по­се­ти­те­лей сайта, а за вто­ро­го  — 0,505 по­се­ти­те­лей сайта. Тогда рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста будет равен 50, вто­ро­го  — 51, сум­мар­ный рей­тинг будет боль­ше 100. На­при­мер, пусть общее число про­го­ло­со­вав­ших 20 000, за пер­во­го про­го­ло­со­ва­ло 9900 че­ло­век, а за вто­ро­го  — 10 100. Тогда рей­тинг пер­во­го фут­бо­ли­ста 49,5 округ­ля­ет­ся до 50, а рей­тинг вто­ро­го  — 50,5 округ­ля­ет­ся до 51.

в)  Пусть ко­ли­че­ство про­го­ло­со­вав­ших за фут­бо­ли­ста по­се­ти­те­лей сайта с учётом го­ло­са Васи равно k, а общее ко­ли­че­ство про­го­ло­со­вав­ших с учётом го­ло­са Васи  — Тогда по­лу­ча­ем си­сте­му из двух двой­ных не­ра­венств:

За­пи­шем дан­ную си­сте­му в виде си­сте­мы четырёх не­ра­венств:

По­сколь­ку все числа в не­ра­вен­ствах целые, стро­гие не­ра­вен­ства можно за­ме­нять на не­стро­гие, вы­чи­тая из боль­ше­го еди­ни­цу. Ис­поль­зуя пер­вое и четвёртое не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем:

Ис­поль­зуя, что из по­след­не­го не­ра­вен­ства си­сте­мы по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку k  — целое, то Тогда снова из пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что по­лу­чен­ная оцен­ка до­сти­га­ет­ся. При и по­лу­чим сле­до­ва­тель­но, рей­тинг будет равен 9. Без Ва­си­но­го го­ло­са сле­до­ва­тель­но, рей­тинг будет равен 7.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее число от­дан­ных за всех фут­бо­ли­стов го­ло­сов при усло­ви­ях, при­ведённых в за­да­че равно 82.

Ответ: а)  36; б)  да; в)  82.

а)  Пусть за фут­бо­ли­ста было от­да­но k го­ло­сов. Тогда долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство то есть 4,55 ≤ k < 4,69, что не­воз­мож­но при целых k.

б)  Да. Пусть из 200 по­дан­ных го­ло­сов пер­вые два фут­бо­ли­ста по­лу­чи­ли по 1 го­ло­су, а тре­тий 198. Тогда рей­тин­ги фут­бо­ли­стов со­ста­вят в сумме 1 + 1 + 99  =  101 > 100.

в)  Пусть было по­да­но n го­ло­сов, не счи­тая Васин, из них k были по­да­ны за этого фут­бо­ли­ста. Из усло­вия по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но, 0,055n < 0,065n − 0,935, от­ку­да n > 93,5, а зна­чит, n ≥ 94.

При n  =  94 имеем

что не­воз­мож­но при целом k. За­ме­тим, что с уве­ли­че­ни­ем n рас­тут и 0,055n, и 0,065n − 0,935. Пер­вое целое k, для ко­то­ро­го не­ра­вен­ства могут быть вы­пол­не­ны од­но­вре­мен­но, равно 6. Решая не­ра­вен­ство 0,065n − 0,935 > 6, на­хо­дим, что а зна­чит, ми­ни­маль­ное под­хо­дя­щее n равно 107. При этом 0,055n  =  5,885 < 6. Зна­чит, ми­ни­маль­но число го­ло­сов, счи­тая Васин, равно 107 + 1  =  108.

Ответ: а) нет; б) да; в) 108.

При­ме­ча­ние.

Срав­ни­те при­ве­ден­ное ре­ше­ние с ре­ше­ни­я­ми за­да­ний 505497 и 505475 из ва­ри­ан­тов ЕГЭ 2014 года.

а)  Пусть k  — число по­се­ти­те­лей, про­го­ло­со­вав­ших за фут­бо­ли­ста. За­ме­тим, что рей­тинг фут­бо­ли­ста будет равен 38, если доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, лежит в пре­де­лах от 37,5% до 38,5%. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем двой­ное не­ра­вен­ство:

Число k  — целое, сле­до­ва­тель­но, оно не может ле­жать в по­лу­чен­ном ин­тер­ва­ле.

б)  Пусть число про­го­ло­со­вав­ших равно 999. Из них за пер­во­го фут­бо­ли­ста  — 332 че­ло­ве­ка, за вто­ро­го  — 333, за тре­тье­го  — 334. Тогда рей­тин­ги каж­до­го из них равны 33%.

в)  Пусть k  — число го­ло­сов, от­дан­ных за фут­бо­ли­ста, вклю­чая Васин голос, n  — общее число го­ло­сов. За­ме­тим, что после того как Вася отдал свой голос за дан­но­го фут­бо­ли­ста, доля го­ло­сов, от­дан­ных за этого фут­бо­ли­ста уве­ли­чи­лась, а рей­тинг нет, по­лу­ча­ем:

Пред­став­ляя в виде си­сте­мы двух не­ра­венств по­лу­чим:

Так как n  — целое, то

Учи­ты­вая, что долж­ны вы­пол­нять­ся все не­ра­вен­ства си­сте­мы, по­лу­чим:

Так как k  — целое, то

Тогда из не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

При усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, ми­ни­маль­ное число про­го­ло­со­вав­ших при усло­ви­ях, дан­ных в за­да­че равно 110.

Ответ: а) нет, б) да, в) 110.

При­ме­ча­ние.

Дру­гое ре­ше­ние при­ве­де­но в за­да­нии 505497.

а)  Пусть k  — число по­се­ти­те­лей, про­го­ло­со­вав­ших за уче­ни­ка. За­ме­тим, что рей­тинг уче­ни­ка будет равен 41, если доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, лежит в пре­де­лах от 40,5% до 41,5%. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем двой­ное не­ра­вен­ство:

Число k  — целое, сле­до­ва­тель­но, оно не может ле­жать в по­лу­чен­ном ин­тер­ва­ле.

б)  Пусть число про­го­ло­со­вав­ших равно 1000. Из них за пер­во­го уче­ни­ка  — 255 че­ло­век, за вто­ро­го  — 256, за тре­тье­го  — 257, за по­след­не­го  — осталь­ные 232. Тогда их рей­тин­ги равны 26 + 26 + 26 + 23  =  101 > 100.

в)  Пусть k  — число го­ло­сов, от­дан­ных за уче­ни­ка, вклю­чая голос Игоря, n  — общее число го­ло­сов. За­ме­тим, что после того как Игорь отдал свой голос за дан­но­го уче­ни­ка, доля го­ло­сов, от­дан­ных за этого уче­ни­ка уве­ли­чи­лась, а рей­тинг  — нет. По­лу­ча­ем:

Пред­став­ляя в виде си­сте­мы двух не­ра­венств по­лу­чим:

Так как n  — целое, то

Учи­ты­вая, что долж­ны вы­пол­нять­ся все не­ра­вен­ства си­сте­мы, по­лу­чим:

Так как k  — целое, то

Тогда из не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

При усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, ми­ни­маль­ное число про­го­ло­со­вав­ших при усло­ви­ях, дан­ных в за­да­че, равно 110.

Ответ: а) нет, б) да, в) 110.

а)  Пусть за фут­бо­ли­ста было от­да­но k го­ло­сов. Тогда долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство то есть 4,505 ≤ k < 4,675, что не­воз­мож­но при целых k.

б)  Да. Пусть из 200 по­дан­ных го­ло­сов пер­вые два фут­бо­ли­ста по­лу­чи­ли по 1 го­ло­су, а тре­тий 198. Тогда рей­тин­ги фут­бо­ли­стов со­ста­вят в сумме 1 + 1 + 99  =  101 > 100.

в)  Пусть было по­да­но n го­ло­сов, не счи­тая Петин, из них k были по­да­ны за этого фут­бо­ли­ста. Из усло­вия по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но, 0,075n < 0,085n − 0,915, от­ку­да n > 91,5, а зна­чит, n ≥ 92.

При n  =  92 имеем

что не­воз­мож­но при целом k. За­ме­тим, что с уве­ли­че­ни­ем n рас­тут и 0,075n, и 0,085n − 0,915. Пер­вое целое k, для ко­то­ро­го не­ра­вен­ства могут быть вы­пол­не­ны од­но­вре­мен­но, равно 7. Решая не­ра­вен­ство 0,085n − 0,915 > 7, на­хо­дим, что ми­ни­маль­ное под­хо­дя­щее n равно 94. Но при этом 0,075n > 7, по­это­му 7 не лежит между этими чис­ла­ми.

Сле­ду­ю­щее по­тен­ци­аль­но под­хо­дя­щее k равно 8. Решая не­ра­вен­ство 0,085n − 0,915 > 8, на­хо­дим, что ми­ни­маль­ное под­хо­дя­щее n равно 105. При этом 0,075n  =  7,875 < 8. Зна­чит, ми­ни­маль­но число го­ло­сов, счи­тая Петин, равно 105 + 1  =  106.

Ответ: а) нет; б) да; в) 106.

При­ме­ча­ние.

Срав­ни­те при­ве­ден­ное ре­ше­ние с ре­ше­ни­я­ми за­да­ний 505497 и 505475 из ва­ри­ан­тов ЕГЭ 2014 года.