Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 562003
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \left| ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 конец ар­гу­мен­та плюс 2|\geqslant минус 3 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 6 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

\left| ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 конец ар­гу­мен­та плюс 2|\geqslant минус 3 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 6 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но \left|2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка |x минус 2| плюс 2|\geqslant минус 3 минус 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка |x минус 2|.

Пусть ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка |x минус 2|=t, тогда

\left|2t плюс 2|\geqslant минус 3 минус 3t рав­но­силь­но 2|t плюс 1|\geqslant минус 3 левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­тим, что при t плюс 1\geqslant0 не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся, а при t плюс 1 мень­ше 0 не вы­пол­ня­ет­ся. Зна­чит, t\geqslant минус 1.

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка |x минус 2|\geqslant минус 1.

Не­ра­вен­ство опре­де­ле­но на левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Рас­смот­рим три слу­чая. При x боль­ше 2:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant минус 1,x боль­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 2 боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби ,x боль­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant1,x боль­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус x минус 3\geqslant0,x боль­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . x боль­ше 2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

При 0 мень­ше x мень­ше 2:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant минус 1,0 мень­ше x мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 минус x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби ,0 мень­ше x мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant1,0 мень­ше x мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус x минус 1\leqslant0,0 мень­ше x мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,0 мень­ше x мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

При минус 1 мень­ше x мень­ше 0:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant минус 1, минус 1 мень­ше x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 минус x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 1 конец дроби , минус 1 мень­ше x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant1, минус 1 мень­ше x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус x минус 1\geqslant0, минус 1 мень­ше x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . минус 1 мень­ше x мень­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но минус 1 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, не­вер­ный из-за не­до­че­та в ре­ше­нии или вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 350
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025