РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 628389 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 389

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов, Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.2 Рациональные уравнения;

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $9 минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 в степени левая круглая скобка \tfrac2 косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем показатель степени в правой части уравнения, используя формулу косинуса разности:

$дробь: числитель: 2 косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 левая круглая скобка косинус x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс синус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: косинус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из 2 левая круглая скобка косинус x умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 2 плюс синус x умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 2 правая круглая скобка , знаменатель: косинус x конец дроби = дробь: числитель: косинус x плюс синус x, знаменатель: косинус x конец дроби = 1 плюс тангенс x.$ $дробь: числитель: 2 косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 левая круглая скобка косинус x косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс синус x синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: косинус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: корень из 2 левая круглая скобка косинус x умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 2 плюс синус x умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 2 правая круглая скобка , знаменатель: косинус x конец дроби =$
$= дробь: числитель: косинус x плюс синус x, знаменатель: косинус x конец дроби = 1 плюс тангенс x.$

Тогда правая часть принимает вид

$дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 плюс тангенс x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка = 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка .$

Положим, $t = 2 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка больше 0,$ получим:

$9 минус дробь: числитель: 6, знаменатель: t конец дроби = 3t равносильно 3 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби = t \underset t больше 0 \mathop равносильно 3t минус 2 = t в квадрате равносильно t в квадрате минус 3t плюс 2 = 0 равносильно совокупность выражений t = 1,t = 2. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

$совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка =1,2 в степени левая круглая скобка тангенс x правая круглая скобка =2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений тангенс x=0, тангенс x=1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью. Подходят: $минус 3 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 3 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

628389

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 3 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$