Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 628389
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 9 минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем по­ка­за­тель сте­пе­ни в пра­вой части урав­не­ния, ис­поль­зуя фор­му­лу ко­си­ну­са раз­но­сти:

дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс синус x синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 2 плюс синус x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = 1 плюс тан­генс x.

Тогда пра­вая часть при­ни­ма­ет вид

дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка = 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка .

По­ло­жим, t = 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, по­лу­чим:

9 минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: t конец дроби = 3t рав­но­силь­но 3 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t конец дроби = t \underset t боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но 3t минус 2 = t в квад­ра­те рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 3t плюс 2 = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t = 1,t = 2. конец со­во­куп­но­сти .

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка =1,2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний тан­генс x=0, тан­генс x=1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  Для от­бо­ра кор­ней вос­поль­зу­ем­ся три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­стью. Под­хо­дят: минус 3 Пи , минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус 2 Пи , минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k; Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус 3 Пи , минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , минус 2 Пи , минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 389
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов, Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026