PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
а) Докажите, что 
б) Найдите объём пирамиды, если 
и HC = 4.
Решение. а) Пусть O — центр основания. Прямая BH перпендикулярна плоскости SAD, поэтому прямые BH и HD перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике BHD медиана равна половине гипотенузы:
Тогда в треугольнике AHC медиана OH равна половине стороны AC, поэтому треугольник AHC прямоугольный.
б) В треугольнике AHC находим 
значит, сторона основания пирамиды равна 3. Пусть M — середина AD, а N — середина BC. Пусть NE — высота в треугольнике MSN. Тогда MN = 3, а 
Поэтому из подобия треугольников MEN и MOS получим
Тогда
Найдём объём пирамиды:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |