В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
а) Докажите, что 
б) Найдите объём пирамиды, если 
и HC = 4.
а) Пусть O — центр основания. Прямая BH перпендикулярна плоскости SAD, поэтому прямые BH и HD перпендикулярны. В прямоугольном треугольнике BHD медиана равна половине гипотенузы: 
Тогда в треугольнике AHC медиана OH равна половине стороны AC, поэтому треугольник AHC прямоугольный.
б) В треугольнике AHC находим 
значит, сторона основания пирамиды равна 3. Пусть M — середина AD, а N — середина BC. Пусть NE — высота в треугольнике MSN. Тогда MN = 3, а 
Поэтому из подобия треугольников MEN и MOS получим
Тогда
Найдём объём пирамиды:
Ответ: б) 