РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 630039 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 396

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Решение. Преобразуем уравнение:

$логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 плюс 3a в степени левая круглая скобка 2 косинус x конец аргумента правая круглая скобка =2 косинус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 10 плюс 3a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка =4 косинус x равносильно$
$равносильно система выражений 10 плюс 3a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка 4 косинус x правая круглая скобка ,a больше 0,a не равно 1 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =5,a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка = минус 2, конец системы . a больше 0,a не равно 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =5,a больше 0,a не равно 1 конец системы . равносильно 2 косинус x= логарифм по основанию a 5.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 плюс 3a в степени левая круглая скобка 2 косинус x конец аргумента правая круглая скобка =2 косинус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 10 плюс 3a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка =4 косинус x равносильно$
$равносильно система выражений 10 плюс 3a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка 4 косинус x правая круглая скобка ,a больше 0,a не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =5,a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка = минус 2, конец системы . a больше 0,a не равно 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =5,a больше 0,a не равно 1 конец системы . равносильно 2 косинус x= логарифм по основанию a 5.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 плюс 3a в степени левая круглая скобка 2 косинус x конец аргумента правая круглая скобка =2 косинус x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка 10 плюс 3a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка =4 косинус x равносильно$
$равносильно система выражений 10 плюс 3a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка 4 косинус x правая круглая скобка ,a больше 0,a не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =5,a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка = минус 2, конец системы . a больше 0,a не равно 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений a в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =5,a больше 0,a не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно 2 косинус x= логарифм по основанию a 5.$

Полученное уравнение имеет решения при $минус 2 меньше или равно логарифм по основанию a 5 меньше или равно 2.$

При $a больше 1$ получаем:

$минус 2 меньше или равно логарифм по основанию a 5 меньше или равно 2 \underseta больше 1\mathop равносильно a в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 5 меньше или равно a в квадрате \underseta больше 1\mathop равносильно$
$\underseta больше 1\mathop равносильно 5 меньше или равно a в квадрате \underseta больше 1\mathop равносильно a больше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$ $минус 2 меньше или равно логарифм по основанию a 5 меньше или равно 2 \underseta больше 1\mathop равносильно$
$\underseta больше 1\mathop равносильно a в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 5 меньше или равно a в квадрате \underseta больше 1\mathop равносильно$
$\underseta больше 1\mathop равносильно 5 меньше или равно a в квадрате \underseta больше 1\mathop равносильно a больше или равно корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

При $0 меньше a меньше 1$ получаем:

$минус 2 меньше или равно логарифм по основанию a 5 меньше или равно 2 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 5 больше или равно a в квадрате \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби больше или равно 5 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби .$ $минус 2 меньше или равно логарифм по основанию a 5 меньше или равно 2 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 5 больше или равно a в квадрате \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби больше или равно 5 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби .$ $минус 2 меньше или равно логарифм по основанию a 5 меньше или равно 2 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 5 больше или равно a в квадрате \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби больше или равно 5 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби .$ $минус 2 меньше или равно логарифм по основанию a 5 меньше или равно 2 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 5 больше или равно a в квадрате \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби больше или равно 5 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби .$ $минус 2 меньше или равно логарифм по основанию a 5 меньше или равно 2 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка больше или равно 5 больше или равно a в квадрате \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби больше или равно 5 \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно a в квадрате меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби \underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно$
$\underset0 меньше a меньше 1\mathop равносильно 0 меньше a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби .$

Объединяя результаты, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

630039

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 396

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630039	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$