PDF-версии: 
Дан треугольник АВС. Биссектриса внутреннего угла при вершине В пересекает биссектрису внешнего угла при вершине С в точке М, а биссектриса внутреннего угла при вершине С пересекает биссектрису внешнего угла при вершине В в точке N.
а) Докажите, что 
б) Найдите CN, если 
и 
Решение. а) Точка N равноудалена от прямых AC, BC, AB, тогда AN — биссектриса внешнего угла A. Аналогично AM — биссектриса внешнего угла A, из чего следует, что точки N, A, M лежат на одной прямой. Далее, прямые NB и BM взаимно перпендикулярны как биссектрисы смежных углов. Прямые NC и CM также взаимно перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник NBCM вписан в окружность с диаметром NM, где углы NMB и NCB равны как вписанные. Значит,
б) Из пункта а) следует, что
Аналогично углы ANC и ACN равны. Следовательно, прямые MN и BC параллельны. Отсюда CA — медиана прямоугольного треугольника NCM, значит, 
Высота этого треугольника, проведенная из вершины C, равна высоте треугольника ABC, приведённой из вершины A, то есть 
Поэтому из пропорции 
получаем
Тогда 
а потому 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |