PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система:
имеет ровно 2 решения.
Решение. Сгруппируем выражения в первом уравнении системы и разложим на множители, получим 
Выражение 
положительно при всех значениях x, поэтому на него можно разделить, откуда получаем уравнение 
Чтобы решить второе уравнение системы, воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета: произведение корней равно 
их сумма равна 
поэтому корни суть 
и 
Получаем равносильную систему:
Полученная смешанная система может иметь ровно два решения только в двух случаях (см. рис.).
1 случай. Система имеет решения 
и 
если выполняется условие
Полученная система решений не имеет, значит, этот случай невозможен.
2 случай. Система имеет решения и 
если выполняется условие
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения только при 
Этими решениями являются пары чисел 
и 
При других значениях параметра исходная система будет иметь или три, или четыре различных решения.
Ответ: 
Примечание.
Дополнительно выясним, сколько решений имеет исходная система при различных значениях параметра a. Для этого заметим, что
а также
Тогда
— при 
система имеет три решения 
— при 
система имеет четыре решения 
— при
система имеет два решения 
— при 
система имеет четыре решения
— при 
система имеет три решения 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |