PDF-версии: 
Трехзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.
а) Может ли n равняться 68?
б) Может ли n равняться 86?
в) Какое наибольшее значение может принимать n, если все цифры ненулевые?
Решение. Обозначим цифры числа за a, b, c, тогда само число равняется 
а) По условию, 
откуда 
Это возможно, например, при a = 6, b = 1, c = 2, то есть для числа 
б) По условию, 
откуда 
Ясно, что c четно, иначе левая часть четна, а правая нет. При c = 0 получаем 
откуда 
и потому a делится на 38, что невозможно для ненулевой цифры. При 
получаем
что также невозможно.
в) Допустим, что 
то есть
Ясно, что 
иначе левая часть отрицательна, а правая положительна. Тогда
и 
С увеличением числа N числитель этой дроби растет, а знаменатель уменьшается, значит, вся дробь растет. При этом 
откуда
Теперь разберем случаи.
При 
получаем: 
то есть 
Тогда c четно и
При 
получаем: 
Если 
то 
—
При 
получаем: 
Если то 
—
При 
получаем: 
Если то 
что дает ответ: 
Ответ:
Приведем примечание Ирины Шраго.
Максимальное трехзначное число, меньшее 910, все цифры которого ненулевые, равно 899, тогда 
и 
Следовательно, случай N = 82 можно не рассматривать.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |