PDF-версии: 
Трапеция KLMN является основанием пирамиды PKLMN, 
Q — точка пересечения прямых KL и MN. Плоскости КPL и PMN перпендикулярны плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскости KPL и PMN взаимно перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды PLQM, если 
a высота пирамиды PKLMN равна 8.
Решение. а) Заметим, что сумма углов QLM и LMQ, смежных с углами KLM и LMN, равна 90°, следовательно,
(углы KLM и LMN лежат при меньшем основании трапеции LM и являются тупыми). Каждая из плоскостей KPL и PMN содержит прямую, перпендикулярную плоскости KLM, и так как существует единственная такая прямая, проходящая через точку Q, то это прямая их пересечения — PQ. Таким образом, прямая PQ перпендикулярна плоскости KLM, следовательно, и лежащим в ней прямым KL и MN. Тем самым — линейный угол двугранного угла LPQM, значит, плоскости KPL и PMN взаимно перпендикулярны.
б) Заметим, что трапеция KLMN — равнобедренная, следовательно,
Таким образом, основанием пирамиды PLQM является равнобедренный прямоугольный треугольник QLM, а высотой этой пирамиды является отрезок PQ. Пусть QH — высота, медиана и биссектриса треугольника QLM, тогда, по теореме от трех перпендикулярах, PH — высота треугольника PLM. Значит,
откуда 
Следовательно,
Откуда для площади полной поверхности пирамиды PLQM получаем:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |