РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 635310 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 410

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}, Теорема Пифагора

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Планиметрическая задача. Вписанные окружности и треугольники

Первая окружность проходит через вершины А и В треугольника ABC и пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Вторая окружность проходит через точки D и E и пересекает продолжения сторон BC и AC за вершину C в точках M и N соответственно.

а)  Докажите, что прямая MN параллельна прямой AB.

б)  Прямые MD и NE вторично пересекают первую окружность в точках X и Y соответственно. Найдите ее радиус, если $A X=X Y=2,$ a AB  =  4.

Решение. а)  Заметим, что углы CDE и CMN равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. По свойству смежных углов

$\angle CDE=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle ADE=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle ABE правая круглая скобка =\angle ABE.$

Отсюда получаем, что прямые MN и AB параллельны между собой. Что и требовалось доказать.

б)  Заметим, что

$\angle DMN=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle DEN=\angle DEY=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle DXY.$

Значит, по признаку параллельности прямые MN и XY параллельны. Тогда четырехугольник AXYB трапеция, вписанная в окружность. Следовательно, $AX=YB=2.$

В равнобокой трапеции AXYB проведем высоту XH, найдем $AH= дробь: числитель: 4 минус 2, знаменатель: 2 конец дроби =1.$ Значит, $\angle XAH=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ По теореме Пифагора получаем, что $XH= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и $XB= корень из: начало аргумента: 9 плюс 3 конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ По теореме синусов

$2R= дробь: числитель: XB, знаменатель: синус \angle A конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: \tfrac корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента 2 конец дроби =4,$

отсюда R  =  2.

Ответ: б) 2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 2.

635310

б) 2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 410

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}, Теорема Пифагора

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	635310	б) 2.