PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два решения.
Решение. Пусть 
тогда уравнение запишется в виде 
Решения этого уравнения имеют вид 
или 
Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений
или 
Исследуем, сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и b. Рассмотрим функцию 
При 
графиком этой функции является ломаная, состоящая из трёх звеньев, угловые коэффициенты которых равны −2, 0 и 2. Минимальное значение достигается на отрезке с концами −5 и a и равно 
Таким образом, уравнение имеет два решения при 
бесконечно много решений при 
и не имеет решений при 
В случае 
уравнение 
имеет два решения при 
одно решение при 
и не имеет решений при 
Уравнения и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид
и не имеют решений.
При других значениях a исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений
и
не имеет решений, а другое имеет два решения. Эти условия равносильны неравенству
При 
неравенство принимает вид 
и выполняется при любом 
При 
неравенство принимает вид 
откуда с учётом условия получаем 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при 
и 
Ответ: 
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек | 3 |
| В решении верно найдены граничные точки множества значений a ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества значений a: ИЛИ получено хотя бы одно из уравнений или | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и/или 
но неверно определены промежутки значений a,
