PDF-версии: 
На ребре CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что 
а) Пусть точка F делит ребро BB1 в отношении 1 : 2, считая от вершины B1. Докажите, что угол между прямыми
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости AC1F, если ребро куба равно 3.
Решение. а) Проведем прямую FC1 и заметим, что CE = FB1, следовательно, треугольники BCE и C1FB1 равны. Тогда прямые BE и FС1 параллельны как стороны равных треугольников с двумя параллельными сторонами. Таким образом, угол между прямыми BE и AC1 равен углу между прямыми FС1 и AC1, то есть равен углу AC1F (этот угол является острым углом тупоугольного треугольника AC1F).
б) Введем систему координат с началом в точке A и осями, направленными по ребрам куба. Тогда: A(0; 0; 0), C(3; 3; 0), F(3; 0; 2), C1(3, 3, 3). Плоскость AC1F проходит через начало координат, а потому ее уравнение имеет вид 
Имеем:
Удобно взять b = 1, тогда c = –3, a = 2. Таким образом, найдено уравнение плоскости: 
Теперь применим формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |