а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­на точка E так, что

а)  Пусть точка F делит ребро BB₁ в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны B₁. До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BE и AC₁ равен углу AC₁F.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти AC₁F, если ребро куба равно 3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15-го де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 700 тысяч руб­лей на (n + 1) месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1-⁠го по n-⁠й долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  15-⁠го числа n-го ме­ся­ца долг со­ста­вит 300 тысяч руб­лей;

—  к 15-⁠му числу -⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те n, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 755 тысяч руб­лей.

Впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC окруж­ность с цен­тром в точке О ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке К. Окруж­ность с цен­тром в точке O₁ ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке L, а также ка­са­ет­ся про­дол­же­ния сто­рон AC и AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние если из­вест­но, что AC  =  7, BC  =  24 и AB  =  25.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно два корня на от­рез­ке

Рас­смат­ри­ва­ют­ся це­ло­чис­лен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, то есть такие пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, длины всех сто­рон ко­то­рых вы­ра­же­ны це­лы­ми чис­ла­ми.

а)  В тре­уголь­ни­ке длина одной из сто­рон равна 12. Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния длин дру­гих сто­рон этого тре­уголь­ни­ка.

б)  Длина h вы­со­ты, опу­щен­ной на ги­по­те­ну­зу, также вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние h.

в)  В тре­уголь­ни­ке где c  — длина ги­по­те­ну­зы, b  — длина од­но­го из ка­те­тов. По­след­няя цифра де­ся­тич­ной за­пи­си пе­ри­мет­ра этого тре­уголь­ни­ка равна 6. Чему равны по­след­ние цифры де­ся­тич­ной за­пи­си длин сто­рон этого тре­уголь­ни­ка?