ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 636517 Добавить в вариант

Решите неравенство: $4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 x минус x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 8.$

Спрятать решение

Решение.

Перенесем 8 в левую часть и разложим полученное выражение на множители, применяя группировку:

$2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x плюс 1 правая круглая скобка минус 8 = 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 8 = 2 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка ,$

$4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 x минус x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка = 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка =$
$= 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка = 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 x минус x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка =$
$= 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка =$
$= 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Получаем:

$2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 4 минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 2 умножить на левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 4 минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Применим метод рационализации и метод интервалов:

$левая круглая скобка 2 в квадрате минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 9 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно система выражений левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0,x больше 0,5 минус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно система выражений 2 меньше или равно x меньше или равно 9,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно 2 меньше или равно x меньше 5.$ $левая круглая скобка 2 в квадрате минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 9 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0,x больше 0,5 минус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно система выражений 2 меньше или равно x меньше или равно 9,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно 2 меньше или равно x меньше 5.$ $левая круглая скобка 2 в квадрате минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 9 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0,x больше 0,5 минус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 меньше или равно x меньше или равно 9,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно 2 меньше или равно x меньше 5.$ $левая круглая скобка 2 в квадрате минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 9 минус логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0,x больше 0,5 минус x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 меньше или равно x меньше или равно 9,0 меньше x меньше 5 конец системы . равносильно 2 меньше или равно x меньше 5.$

Ответ: [2; 5).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 413

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь