Рассматриваются целочисленные прямоугольные треугольники, то есть такие прямоугольные треугольники, длины всех сторон которых выражены целыми числами.
а) В треугольнике длина одной из сторон равна 12. Найдите все возможные значения длин других сторон этого треугольника.
б) Длина h высоты, опущенной на гипотенузу, также выражается целым числом. Найдите наименьшее возможное значение h.
в) В треугольнике 
где c — длина гипотенузы, b — длина одного из катетов. Последняя цифра десятичной записи периметра этого треугольника равна 6. Чему равны последние цифры десятичной записи длин сторон этого треугольника?
а) Если гипотенуза равна 12, а катеты равны x и y, где 
то 
Тогда 
то есть 
Найдем другой катет:
Ни одно из этих чисел не является полным квадратом.
Если же один из катетов равен 12, второй x а гипотенуза y, то 
то есть 
Числа 
и 
имеют одинаковую четность и 
Раскладывая всеми возможными способами число 144 на два четных множителя (на два нечетных разложить нельзя) получаем:
— если
то 
и 
тогда 
и 
— если 
то 
и 
тогда 
и 
— если 
то 
и 
тогда 
и 
— если 
то 
и 
тогда 
и 
б) У треугольника со сторонами 15, 20, 25 высота равна
Докажем, что это наименьшее значение. Пусть катеты имеют длины a и b, а отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны 
и 
Это рациональные числа (треугольники, на которые высота делит данный треугольник, подобны исходному и имеют по две целых стороны), значит, и целые, поскольку корень из целого числа либо целый, либо иррациональный. Поэтому h является катетом двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, подобных друг другу. По аналогии с пунктом а) выясним, когда это возможно. Будем представлять числа 
в виде разности квадратов, то есть виде произведений вида 
— 
или h — простое число, то h2 имеет не более одного такого разложения и подходить не может. Тогда
— 
единственный вариант;
— 
единственный вариант;
— 
что дает треугольники 15, 8, 17 и 6, 8, 10, неподобные друг другу;
— 
что дает треугольники 40, 9, 41 и 12, 9, 15, неподобные друг другу;
— 
единственный вариант.
Итак, до 122 таких вариантов не будет.
в) Пусть второй катет имеет длину a. Тогда
откуда
Последняя цифра этого числа определяется последней цифрой a. Перебрав все варианты, получаем, что 
заканчивается на 6 только если a заканчивается на 2 или на 7. Но если a четно, то 
— 
либо на 4 и 5, либо на 9 и 0. Первый вариант возможен, например, при сторонах 7, 24, 25. На 9 число bзаканчиваться не может, поскольку
является четным в силу четности обоих множителей.
Ответ: а) (35 12, 37), (16, 12, 20), (9, 12, 15), (5, 12, 13); б) 12;