PDF-версии: 
Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Решение. Уравнение имеет смысл при
При таких значениях b в силу тождества 
получаем:
и исходное уравнение равносильно уравнению
Заметим, что если число 
является корнем полученного, а вместе с ним и исходного уравнения, то и число 
является корнем этого уравнения. Следовательно, чтобы уравнение имело единственный корень, этим корнем должно быть число 0, и других корней уравнение иметь не должно. Найдём, при каких значениях b число 0 является корнем, подставив в уравнение 
Проверим, что при 
уравнение не имеет других корней:
Значит, при уравнение, действительно, имеет единственный корень.
Ответ: −20.
Примечание.
Приведем другое решение, основанное на той же идее. Заметим сразу же, что если число является корнем полученного, а вместе с ним и исходного уравнения, то и число является корнем этого уравнения. Следовательно, чтобы уравнение имело единственный корень, этим корнем должно быть число 0 и других корней уравнение иметь не должно. Подставляя 
в уравнение
получаем:
Таким образом, уравнение может иметь корень 0 только при найденных значениях параметра. Осталось проверить, действительно ли, для этих значений число 0 является корнем и единственным ли. Для 
в исходном уравнении не определено выражение 
значит, это значение b не подходит. При получаем:
Значит, при уравнение, действительно, имеет единственный корень.
Ответ: −20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |