PDF-версии: 
Точка M — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
a) Докажите, что плоскость AMB1 параллельна прямой A1C.
б) Найдите расстояние между прямой A1C и плоскостью AMB1, если параллелепипед прямоугольный, AB = 12, AD = 12
Решение. a) Пусть AB1 и A1B пересекаются в общей середине Q. Тогда MQ — средняя линия треугольника A1BC, поэтому прямая MQ параллельна прямой A1C. Таким образом, прямая A1C параллельна плоскости AMB1.
б) Найдём расстояние от точки C до плоскости AMB1. Поскольку плоскость AMB1 пересекает отрезок BC в его середине, расстояние от точки C до плоскости AMB1 равно расстоянию от точки B до этой плоскости. Проведём перпендикуляр BK к AM. Находим:
следовательно,
Искомое расстояние:
Ответ: б) 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |