PDF-версии: 
Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Прямые СА1 и АВ1 перпендикулярны.
а) Докажите, что АА1 = АС.
б) Найдите расстояние между прямыми СА1 и АВ1, если AC = 8 и BC = 4.
Решение. а) Призма прямая, поэтому прямые B1С1 и СС1 перпендикулярны. Кроме того, прямая B1С1 перпендикулярна прямой A1С1, следовательно, прямая B1С1 перпендикулярна плоскости AB1С1. Таким образом, точка С1 является проекцией точки B1, а прямая AС1 проекцией прямой AB1 на эту плоскость. Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямые AС1 и CA1 взаимно перпендикулярны. Это означает, что в прямоугольнике ACС1A1 диагонали взаимно перпендикулярны, а потому он является квадратом. Таким образом, AA1 = AС.
б) Из п. а) следует, что прямая B1С1 перпендикулярна плоскости ACC1A1 и, значит, прямой CA1, а также что прямая CA1 перпендикулярна прямой AС1. Таким образом, плоскость AB1С1 перпендикулярна прямой AС1.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между проекциями этих прямых на плоскость, перпендикулярную одной из них. Пусть M — точка пересечения прямых AC1 и СA1, она же является проекцией прямой AС1 на плоскость AB1С1. Прямая AB1 лежит в этой плоскости, следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB1. Из точки M на прямую AB1 опустим перпендикуляр MH и найдем его длину.
следовательно,
Прямоугольные треугольники AB1С1 и AMH имеют общий угол и подобны, следовательно, 
откуда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |