а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы АВСА₁В₁С₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС с пря­мым углом С. Пря­мые СА₁ и АВ₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  До­ка­жи­те, что АА₁  =  АС.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми СА₁ и АВ₁, если AC  =  8 и BC  =  4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Банк пред­ла­га­ет два типа вкла­дов  — «Удач­ный» и «При­быль­ный». По вкла­ду «Удач­ный» предо­став­ля­ет­ся 5% го­до­вых; по вкла­ду «При­быль­ный»  — 2% за пер­вый год и p%, на­чи­ная со вто­ро­го года. Про­цен­ты по обоим вкла­дам на­чис­ля­ют­ся в конце года и при­бав­ля­ют­ся к те­ку­щей сумме вкла­да. При каком наи­мень­шем целом зна­че­нии p трех­лет­ний вклад «При­быль­ный» ока­жет­ся вы­год­нее трех­лет­не­го вкла­да «Удач­ный» при усло­вии, что пер­во­на­чаль­но вкла­ды были равны?

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми О₁ и О₂ со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Из точки О₁ про­ве­де­на ка­са­тель­ная О₁К ко вто­рой окруж­но­сти (К  — точка ка­са­ния), а из точки О₂ про­ве­де­на ка­са­тель­ная О₂L к пер­вой окруж­но­сти (L  — точка ка­са­ния), точки К и L лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой О₁О₂.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что он в 4 раза мень­ше ра­ди­у­са боль­шей окруж­но­сти, а пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка О₁КО₂L равна

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Су­ще­ству­ют ли такие во­семь­сот раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, что их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше их наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля:

а)  ровно в 500 раз?

б)  ровно в 400 раз?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное на­ту­раль­ное число, рав­ное от­но­ше­нию сред­не­го

ариф­ме­ти­че­ско­го этих чисел к их наи­боль­ше­му об­ще­му де­ли­те­лю.