Со­кра­тим все эти числа на их наи­боль­ший общий де­ли­тель. От этого их сумма (а зна­чит и сред­нее ариф­ме­ти­че­ское) умень­шат­ся во столь­ко же раз. Итак, можно счи­тать, что наи­боль­ший общий де­ли­тель чисел равен 1.

а)  Сумма этих чисел долж­на быть равна Возь­мем числа 1, 2, ..., 799, их сумма равна

и еще число Этот набор удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

б)  Нет. Сумма этих чисел долж­на быть равна Но сумма даже самых ма­лень­ких 800 чисел равна

в)  Из до­ка­за­тель­ства пунк­та б) ясно, что быть мень­ше 400 сред­нее ариф­ме­ти­че­ское тоже не может. Если же оно равно 401 (то есть сумма чисел равна то можно взять числа 1, 2, ..., 799 и

На­бо­ры чисел в пунк­тах а) и в) дей­стви­тель­но имеют наи­боль­ший общий де­ли­тель 1, по­сколь­ку со­дер­жат число 1.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  401.