Тип 19 № 645894 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Существуют ли такие восемьсот различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя:
а) ровно в 500 раз?
б) ровно в 400 раз?
в) Найдите наименьшее возможное натуральное число, равное отношению среднего
арифметического этих чисел к их наибольшему общему делителю.
Решение. Сократим все эти числа на их наибольший общий делитель. От этого их сумма (а значит и среднее арифметическое) уменьшатся во столько же раз. Итак, можно считать, что наибольший общий делитель чисел равен 1.
а) Сумма этих чисел должна быть равна 
Возьмем числа 1, 2, ..., 799, их сумма равна
и еще число 
Этот набор удовлетворяет условию задачи.
б) Нет. Сумма этих чисел должна быть равна 
Но сумма даже самых маленьких 800 чисел равна
в) Из доказательства пункта б) ясно, что быть меньше 400 среднее арифметическое тоже не может. Если же оно равно 401 (то есть сумма чисел равна 
то можно взять числа 1, 2, ..., 799 и
Наборы чисел в пунктах а) и в) действительно имеют наибольший общий делитель 1, поскольку содержат число 1.
Ответ: а) да; б) нет; в) 401.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 401.
645894
а) да; б) нет; в) 401.
PDF-версии: