ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 645890 Добавить в вариант

Решите неравенство: $4 логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 8 x минус 8 конец дроби меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x.$

Спрятать решение

Решение.

Неравенство определено при $x больше 1.$ Для таких значений переменной

$логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби = логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 8 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка .$ $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби = логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 8 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =$
$= 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка .$

Приводя подобные слагаемые, получаем:

$система выражений 6 логарифм по основанию 2 x минус 3 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 6 логарифм по основанию 2 x минус 7 меньше или равно 0,x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 7 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 1,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 2x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 2.$ $система выражений 6 логарифм по основанию 2 x минус 3 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x,x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 6 логарифм по основанию 2 x минус 7 меньше или равно 0,x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 7 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 1,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 2x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 2.$ $система выражений 6 логарифм по основанию 2 x минус 3 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x,x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 6 логарифм по основанию 2 x минус 7 меньше или равно 0,x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 7 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 1,x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 2x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 2.$

Ответ: $левая круглая скобка 1; 2 правая квадратная скобка .$

Приведём другое решение.

$4 логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 4 логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x \overset левая круглая скобка ** правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 4 логарифм по основанию 2 x плюс 2 логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 6 логарифм по основанию 2 x минус 7 меньше или равно 0,x минус 1 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 7 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 1,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 2x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 2.$ $4 логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 4 логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x \overset левая круглая скобка ** правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 4 логарифм по основанию 2 x плюс 2 логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 6 логарифм по основанию 2 x минус 7 меньше или равно 0,x минус 1 больше 0 конец системы . равносильно система выражений минус 7 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 1,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 2x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 2.$ $4 логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 4 логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x \overset левая круглая скобка ** правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 4 логарифм по основанию 2 x плюс 2 логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 6 логарифм по основанию 2 x минус 7 меньше или равно 0,x минус 1 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 7 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 1,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 2x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 2.$ $4 логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 4 логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x \overset левая круглая скобка ** правая круглая скобка \mathop равносильно$
$\mathop равносильно 4 логарифм по основанию 2 x плюс 2 логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 8 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 4 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 в квадрате x равносильно$
$равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x плюс 6 логарифм по основанию 2 x минус 7 меньше или равно 0,x минус 1 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 7 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 1,x больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно 2x больше 1 конец системы . равносильно 1 меньше x меньше или равно 2.$

Примечание.

Преобразование (⁎) равносильно, поскольку x² не может быть отрицательным. Преобразование (⁎⁎) равносильно, поскольку в неравенстве есть слагаемое $4 логарифм по основанию 2 x,$ значит, x не может быть отрицательным.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 435

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь