PDF-версии: 
Бесконечная последовательность {an} натуральных чисел задана рекуррентно: 
а) Если в последовательности {an} два элемента равны: 
при 
то чему равна разность (m – n)?
б) При каких значениях n сумма 
будет точным квадратом?
в) Если последняя цифра суммы Sn равна 6, то какая цифра будет предпоследней?
Решение. Заметим, что при нечетном n число n – 1 четно. Поэтому
Аналогично при четном n число 
нечетно. Поэтому
Кроме того, 
Значит, последовательность имеет вид 1, 4, 2, 5, 3, 6, 4, 7 ...
а) Очевидно, что совпадать могут только член с четным и член с нечетным номером, причем для каждого члена с четным есть ровно один член с нечетным, равный ему. При этом 
поэтому 
и 
б) Если 
— четное число, то сумма равна
Заметим, что
поэтому это число квадратом не будет.
Если 
—
При 
и 
получаем соответственно 1 и 25. Это квадраты.
При 
и 
получаем соответственно 7 и 15. Это не квадраты.
При 
заметим, что
поэтому это число квадратом не будет.
Итак, подходят только 
и 
в) Ясно, что число
нечетно: первое слагаемое — произведение двух подряд идущих натуральных чисел и потому четно, второе четно, третье нечетно. Поэтому оно не кончается 
кончается 
кончается
Ответ: а) 5; б) 1,7; в) 9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |