а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан ци­линдр с цен­тра­ми ниж­не­го и верх­не­го ос­но­ва­ний O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Объём ци­лин­дра, равен На окруж­но­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния вы­бра­ны точки А и В, а на бо­ко­вой по­верх­но­сти вы­бра­на, точка С, рав­но­удалённая от ос­но­ва­ний.

а)  До­ка­жи­те, что объём тет­ра­эд­ра O₁ABC не пре­вос­хо­дит

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AO₁ и CO₂, если от­рез­ки BO₂ и CO₁ пе­ре­се­ка­ют­ся, и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

На каж­дом из двух ком­би­на­тов из­го­тав­ли­ва­ют де­та­ли А и В. На пер­вом ком­би­на­те ра­бо­та­ет 300 че­ло­век, и один ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет за смену 9 де­та­лей А или 3 де­та­ли В. На вто­ром ком­би­на­те ра­бо­та­ет 600 че­ло­век, и один ра­бо­чий из­го­тав­ли­ва­ет за смену 3 де­та­ли А или 9 де­та­лей В. Оба эти ком­би­на­та по­став­ля­ют де­та­ли на ком­би­нат, на ко­то­ром со­би­ра­ют из­де­лие, для из­го­тов­ле­ния ко­то­ро­го нужны 2 де­та­ли А и 3 де­та­ли В. При этом ком­би­на­ты до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой из­го­тав­ли­вать де­та­ли так, чтобы можно было со­брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий. Сколь­ко из­де­лий при таких усло­ви­ях может со­брать ком­би­нат за смену?

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точки E и O  — се­ре­ди­ны сто­рон BC и АB со­от­вет­ствен­но, точка Q  — се­ре­ди­на от­рез­ка OD, точка F  — точка пе­ре­се­че­ния OC и ED.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая FQ делит AD в от­но­ше­нии 5 : 6.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка DQFC к пло­ща­ди ABCD.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

Бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность {a_n} на­ту­раль­ных чисел за­да­на ре­кур­рент­но:

а)  Если в по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n} два эле­мен­та равны: при то чему равна раз­ность (m – n)?

б)  При каких зна­че­ни­ях n сумма будет точ­ным квад­ра­том?

в)  Если по­след­няя цифра суммы S_n равна 6, то какая цифра будет пред­по­след­ней?