Дан цилиндр с центрами нижнего и верхнего оснований O1 и O2 соответственно. Объём цилиндра, равен 
На окружности нижнего основания выбраны точки А и В, а на боковой поверхности выбрана, точка С, равноудалённая от оснований.
а) Докажите, что объём тетраэдра O1ABC не превосходит 
б) Найдите расстояние между прямыми AO1 и CO2, если отрезки BO2 и CO1 пересекаются, 
и 
а) Пусть высота цилиндра равна H, а радиус основания R. Тогда его объем
следовательно, 
Заметим, что, так как точка C равноудалена от оснований цилиндра, то высота тетраэдра O1ABC равна 
При этом площадь основания
следовательно,
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до плоскости проходящей параллельно ей через вторую прямую. Пусть точки A2 и B2 лежат на окружности верхнего основания так что AA2 и BB2 — образующие цилиндра. Тогда прямые AO1 и A2O2 — параллельны, следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от прямой AO1 до плоскости CA2O2. Например, HO1 — длине высоты пирамиды O1CA2O2 опущенной из вершины O1 на плоскость CA2O2. Из треугольника AO1B и прямоугольных треугольников ABC, BCO1 и AСO2 находим: 
С другой стороны, из прямоугольного треугольника AO1O2 получаем:
Таким образом,
следовательно, учитывая п. а) 
то есть R = 1, 
Вычислим объем пирамиды O1CA2O2, считая треугольник O1O2A2 основанием. Прямые BB1 и O1O2 параллельны и перпендикулярны основанию, высота hC, опущенная из вершины С, равна высоте треугольника AO1B1, опущенной из вершины B. Таким образом,
Подставляя значения R и H, получаем 
При помощи формулы Герона вычислим площадь треугольника CA2O2: 
Тогда
Ответ: б) 