PDF-версии: 
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точки M, N, K делят ребра AA1, BB1, DD1 в отношении 1 : 4, 1 : 5, 1 : 3, считая от нижнего основания ABCD.
а) Докажите, что плоскость MNK делит ребро CC1 в отношении 13 : 47, считая от нижнего основания.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы, если сторона основания равна 
а высота равна 60.
Решение. а) Пусть плоскость MNK пересекает ребро CC1 в точке L, O — точка пересечения LM и NK (середина диагоналей LM и NK параллелограмма KLNM), и пусть высота пирамиды равна h. Построим отрезок NR параллельно BD, где точка R лежит на ребре DD1 и отрезок MS параллельно отрезку AC, где точка S лежит на ребре CC1. Пусть точки O1 и O2 — середины NR и MS, соответственно. Заметим, что OO1 и OO2 — средние линии треугольников NRK и MSL, соответственно. Тогда:
откуда 
б) Пусть P — точка пересечения прямых AB и MN, а точка Q — AD и KM. Тогда прямая PQ — общая прямая плоскостей ABC и MNK. Из точки M опустим перпендикуляр MH на прямую PQ. По теореме о трех перпендикулярах его проекция AH также перпендикулярна PQ, следовательно, угол MHA — линейный угол искомого угла.
Из пункта а) следует: BN = 10, AM = 12, DK = 15. Треугольники QAM и QDK — подобны, следовательно,
Аналогично, треугольники PBN и PAM подобны, следовательно,
откуда 
Находим: 
откуда 
Ответ: б) 45°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |