Ре­ше­ние. а)  Пусть точки A₁, B₁ и C₁  — вер­ши­ны куба, ле­жа­щие на реб­рах DA, DB и DC со­от­вет­ствен­но, пусть точки E, F и G  — вер­ши­ны куба, ле­жа­щие в бо­ко­вых гра­нях DAB, DAC и DBC со­от­вет­ствен­но, и пусть точка  H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, яв­ля­ю­щий­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты пи­ра­ми­ды.

На про­дол­же­нии диа­го­на­ли DE грани куба DA₁EB₁ возь­мем точку K так, что угол DHK пря­мой. Тогда пря­мая HK лежит на ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды, пер­пен­ди­ку­ляр­на сто­ро­не AB, а точка K  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах DK также пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Пусть ребро куба равно a, тогда Из по­до­бия пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KEH и HED по­лу­ча­ем от­ку­да на­хо­дим:

б)  Пусть ребро куба равно a, по усло­вию пло­щадь по­верх­но­сти куба от­ку­да Из п. а) бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны  3a, ребра ос­но­ва­ния  — Таким об­ра­зом, пло­щадь бо­ко­вой грани пло­щадь ос­но­ва­ния сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ве­дем дру­гую идею для пунк­та а).

Пусть длины ребер, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны D, равны a, и пусть точка H  — центр равноcто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC. Най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды:

По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью куба. Ребро куба в мень­ше диа­го­на­ли, по­это­му оно равно то есть в три раза мень­ше бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды.