а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де DABC углы бо­ко­вых гра­ней при вер­ши­не пи­ра­ми­ды D  — пря­мые. Внут­ри пи­ра­ми­ды на­хо­дит­ся куб, диа­го­наль ко­то­ро­го сов­па­да­ет с вы­со­той пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что ребро куба в три раза мень­ше бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды DABC, если пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 96.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на S тысяч руб­лей на 32 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1-⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2-⁠го по 14 число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15-⁠го числа пер­вый и по­след­ний ме­ся­цы долг дол­жен умень­шать­ся на 250 тысяч руб­лей, все осталь­ные ме­ся­цы долг дол­жен быть мень­ше долга на 15-⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на x тысяч руб­лей. Най­ди­те S, если всего было вы­пла­че­но банку 2061,5 тысяч руб­лей?

Диа­го­наль тра­пе­ции делит ее на два по­доб­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, в каж­дый из ко­то­рых впи­са­на окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ний тра­пе­ции равно квад­ра­ту этой диа­го­на­ли.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в эти тре­уголь­ни­ки, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 9 и 25.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние где x, y и z  — по­ло­жи­тель­ные числа.

Ни­ко­лай Сер­ге­е­вич на­пи­сал на доске 15 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское вось­ми наи­мень­ших из них равно 7. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское вось­ми наи­боль­ших рав­ня­ет­ся 20.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих 15 чисел рав­нять­ся 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 15 чисел рав­нять­ся 13?

в)  Пусть k  — вось­мое по ве­ли­чи­не число, m  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние