Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 656199
i

Ни­ко­лай Сер­ге­е­вич на­пи­сал на доске 15 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское вось­ми наи­мень­ших из них равно 7. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское вось­ми наи­боль­ших рав­ня­ет­ся 20.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих 15 чисел рав­нять­ся 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 15 чисел рав­нять­ся 13?

в)  Пусть k  — вось­мое по ве­ли­чи­не число, m  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние m минус k.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть сумма семи наи­мень­ших чисел равна a, вось­мое число равно b, сумма семи наи­боль­ших равна c. Тогда по усло­вию дробь: чис­ли­тель: a плюс b, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = 7, от­ку­да a плюс b = 56. Ана­ло­гич­но b плюс c = 160.

а)  Если наи­мень­шее из числе равно 5, то сумма семи наи­мень­ших как ми­ни­мум

5 плюс 6 плюс 7 плюс 8 плюс 9 плюс 10 плюс 11 = 56

и тогда c = 0, что не­воз­мож­но.

б)  Если сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 13, то их сумма равна 15 умно­жить на 13 = 195, от­ку­да

b = левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс c пра­вая круг­лая скоб­ка = 56 плюс 160 минус 195 = 21.

Но тогда сумма семи наи­боль­ших чисел не мень­ше

22 плюс 23 плюс \ldots плюс 28 = 175 боль­ше 160,

что не­воз­мож­но.

в)  За­ме­тим, что

m минус k = дробь: чис­ли­тель: a плюс b плюс c, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби минус b = дробь: чис­ли­тель: a плюс b плюс b плюс c, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби минус b минус дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 56 плюс 160, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби минус b минус дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби b.

По­это­му нужно сде­лать b как можно мень­ше. При этом

56 = a плюс b мень­ше или равно b плюс левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка b минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс левая круг­лая скоб­ка b минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка = 8b минус 28,

от­ку­да

84 мень­ше или равно 8b,

b боль­ше или равно 10,5,

b боль­ше или равно 11.

Сде­лать b = 11 можно, взяв, на­при­мер, набор 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 62. Для него по­лу­чим

дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби b = дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 176, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: а)  нет; б)  нет; в) дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в пунк­тах а), б) и в).4
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те в) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а) или б).3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в пунк­тах а) и б)

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те в)

2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а) или б).1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 520851: 528993 520789 656199 Все

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 459
Классификатор алгебры: Чис­ло­вые на­бо­ры на кар­точ­ках и дос­ках
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025