Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 520851

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 16.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?

в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S минус B

Спрятать решение

Решение.

а) Если наименьшее число равно 5, то сумма шести наименьших чисел не меньше 5 плюс 6 плюс 7 плюс 8 плюс 9 плюс 10=45, а их среднее арифметическое больше 7.

б) Пусть сумма пяти наименьших чисел равна А, шестое по величине число равно В, а сумма пяти наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 10. Тогда получаем:

B плюс C=96, A плюс B плюс C=110,

откуда A=14. Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство A больше или равно 15=1 плюс 2 плюс 3 плюс 4 плюс 5.

в) Имеем: A плюс B=42, B плюс C=96. Получаем:

S минус B= дробь: числитель: A плюс B плюс C, знаменатель: 11 конец дроби минус B= дробь: числитель: левая круглая скобка A плюс B правая круглая скобка плюс левая круглая скобка B плюс C правая круглая скобка минус 12B, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 138 минус 12B, знаменатель: 11 конец дроби .

Значит, нужно найти наименьшее значение В.

Пусть числа, написанные на доске, равны a_1, a_2,..., a_11, причем a_1 меньше a_2 меньше ... меньше a_11. Тогда a_1 плюс 5 меньше или равно a_2 плюс 4 меньше или равно a_3 плюс 3 меньше или равно a_4 плюс 2 меньше или равно a_5 плюс 1 меньше или равно a_6 = B, откуда

a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 плюс a_5 плюс a_6 плюс 15 меньше или равно 6B равносильно 57 меньше или равно 6B равносильно B больше или равно 9,5.

Значит,  B больше или равно 10, поскольку B целое.

Покажем, что число В может равняться 10. Например, если на доске написаны числа

2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36,

то условия задачи выполнены и B=10. Таким образом, S минус B= дробь: числитель: 138 минус 12B, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: 11 конец дроби .

 

Ответ: а) нет, б) нет, в)  дробь: числитель: 18, знаменатель: 11 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— пример в пункте а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 520851: 528993 520789 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 402 (C часть)., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2018