СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 520851

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 16.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?

в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения

Решение.

а) Если наименьшее число равно 5, то сумма шести наименьших чисел не меньше , а их среднее арифметическое больше 7.

б) Пусть сумма пяти наименьших чисел равна А, шестое по величине число равно В, а сумма пяти наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 10. Тогда получаем:

откуда Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство

в) Получаем:

 

 

Значит, нужно найти наименьшее значение В.

Пусть числа, написанные на доске, равны причем Тогда откуда

 

 

Значит, поскольку B целое.

Покажем, что число В может равняться 10. Например, если на доске написаны числа 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36 то условия задачи выполнены и

Таким образом,

 

Ответ: а) нет, б) нет, в)

Источник: ЕГЭ — 2018. Ос­нов­ная волна 01.06.2018. Вариант 402 (C часть)., За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2018
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки