а)  Если наи­мень­шее число равно 5, то сумма шести наи­мень­ших чисел не мень­ше а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше 7.

б)  Пусть сумма пяти наи­мень­ших чисел равна А, ше­стое по ве­ли­чи­не число равно В, а сумма пяти наи­боль­ших чисел равна С. Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех один­на­дца­ти чисел равно 10. Тогда по­лу­ча­ем:

от­ку­да Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство

в)  Имеем: По­лу­ча­ем:

Зна­чит, нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние В.

Пусть числа, на­пи­сан­ные на доске, равны при­чем Тогда от­ку­да

Зна­чит, по­сколь­ку B целое.

По­ка­жем, что число В может рав­нять­ся 10. На­при­мер, если на доске на­пи­са­ны числа

то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и Таким об­ра­зом,

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  

а)  Если наи­мень­шее число равно 5, то сумма семи наи­мень­ших чисел не мень­ше а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше 7.

б)  Пусть сумма шести наи­мень­ших чисел равна А, седь­мое по ве­ли­чи­не число равно Q, а сумма шести наи­боль­ших чисел равна С. Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех три­на­дца­ти чисел равно 12. Тогда по­лу­ча­ем:

от­ку­да Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку перед Q долж­но быть еще шесть раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

в)  Имеем: По­лу­ча­ем:

Зна­чит, нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние Q.

Пусть числа, на­пи­сан­ные на доске, равны при­чем Тогда от­ку­да

По­ка­жем, что число Q может рав­нять­ся 10. На­при­мер, если на доске на­пи­са­ны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 37, то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и Таким об­ра­зом,

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  

а)  Если наи­мень­шее число равно 3, то сумма шести наи­мень­ших чисел не мень­ше 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8  =  33, а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше 5.

б)  Пусть сумма пяти наи­мень­ших чисел равна А, ше­стое по ве­ли­чи­не число равно В, а сумма пяти наи­боль­ших чисел равна С. Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 11 чисел равно 9. Тогда по­лу­ча­ем: от­ку­да Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство

в)   По­лу­ча­ем:

Зна­чит, нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние В.

Пусть числа, на­пи­сан­ные на доске, равны

Зна­чит, по­сколь­ку B целое.

По­ка­жем, что число В может рав­нять­ся 8. На­при­мер, если на доске на­пи­са­ны числа 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40, то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и

Таким об­ра­зом,

Ответ: а) нет, б) нет, в)

Пусть сумма семи наи­мень­ших чисел равна a, вось­мое число равно b, сумма семи наи­боль­ших равна c. Тогда по усло­вию от­ку­да Ана­ло­гич­но

а)  Если наи­мень­шее из числе равно 5, то сумма семи наи­мень­ших как ми­ни­мум

и тогда что не­воз­мож­но.

б)  Если сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 13, то их сумма равна от­ку­да

Но тогда сумма семи наи­боль­ших чисел не мень­ше

что не­воз­мож­но.

в)  За­ме­тим, что

По­это­му нужно сде­лать b как можно мень­ше. При этом

от­ку­да

Сде­лать можно, взяв, на­при­мер, набор 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 62. Для него по­лу­чим

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)