а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M — середина стороны BC.

а) Докажите, что прямая A₁C параллельна плоскости, проходящей через точки A, M и B₁.

б) Найдите расстояние от прямой A₁C до плоскости AMB₁, если параллелепипед прямоугольный и AB = 5, AD = 4, AA₁ = 2.

Решите неравенство:

В остроугольном треугольнике ABC угол А равен 40°, отрезки BB₁ и CC₁ — высоты, точки B₂ и С₂ — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B₁C₂ и C₁B₂ пересекаются в точке K.

а) Докажите, что точки B₁, B₂, С₁ и С₂ лежат на одной окружности.

б) Найдите угол B₁KB₂.

19 января планируется взять в кредит некоторую сумму на 16 месяцев. Условия кредита таковы:

— 1 числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2 по 18 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 19‐го числа каждого месяца с 1‐й по 15‐й месяц долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 19‐е число предыдущего месяца;

— к 19‐му числу 16‐го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 19‐го числа 15‐го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 914 тыс. рублей?

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

имеет хотя бы одно решение.

На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а) Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в) Пусть P — среднее арифметическое всех 13 чисел, Q — седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения P − Q.