Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 13 № 528987

а) Решите уравнение  левая круглая скобка корень из { 2} в степени синус в степени 2 x плюс корень из { косинус x } правая круглая скобка в степени 2 плюс 2 в степени косинус в степени 2 x плюс корень из { косинус x }=3 умножить на 2 в степени корень из { косинус x }.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 2 ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

a) Преобразуем исходное уравнение:

 

2 в степени синус в степени 2 x плюс корень из { косинус x } плюс 2 в степени косинус в степени 2 x плюс корень из { косинус x }=3 умножить на 2 в степени корень из { косинус x } равносильно левая круглая скобка 2 в степени синус в степени 2 x плюс 2 в степени косинус в степени 2 x минус 3 правая круглая скобка умножить на 2 в степени корень из { косинус x }=0 равносильно система выражений 2 в степени 1 минус косинус в степени 2 x плюс 2 в степени косинус в степени 2 x минус 3=0, косинус x больше или равно 0. конец системы .

Сделаем замену t=2 в степени косинус в степени 2 x и решим полученное уравнение:

 

 дробь, числитель — 2, знаменатель — t плюс t минус 3=0 равносильно t в степени 2 минус 3t плюс 2=0 равносильно совокупность выражений t= 1, t= 2. конец совокупности .

Вернёмся к исходной переменной:

 

 система выражений совокупность выражений 2 в степени косинус в степени 2 x =1,2 в степени косинус в степени 2 x =2, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений косинус в степени 2 x = 0, косинус в степени 2 x= 1, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений косинус x = 0, косинус x= \pm1, конец системы . косинус x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно  равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи k,x=2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

 

б) Произведем отбор корней при помощи единичной окружности (см. рис.) Подходят корни  минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 2 ,  минус дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 2 ,  минус 4 Пи .

Ответ: а) \left \{ дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс Пи k, 2 Пи k : k принадлежит Z \}; б)  минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 2 , минус дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 2 , минус 4 Пи .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288.