Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 528992

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

 система выражений y=ax в степени 2 плюс 3,x плюс корень из { 8y минус y в степени 2 минус 12}= минус 5 конец системы .

имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Графиком первого уравнения исходной системы является семейство парабол (при a=0 вырождающихся в прямую) с вершиной в точке (0; 3). Преобразуем второе уравнение системы:

x плюс корень из { 8y минус y в степени 2 минус 12}= минус 5 равносильно корень из { 8y минус y в степени 2 минус 12}= минус x минус 5 равносильно система выражений 8y минус y в степени 2 минус 12=(x плюс 5) в степени 2 ,x меньше или равно минус 5 конец системы . равносильно система выражений (x плюс 5) в степени 2 плюс (y минус 4) в степени 2 = 2 в степени 2 ,x меньше или равно минус 5. конец системы .

Графиком второго уравнения исходной системы является левая полуокружность окружности с центром в точке ( минус 5; 4) и радиусом r=2.

Данная система либо имеет одно решение (когда полуокружность имеет с графиком первого уравнения общую точку), либо не имеет решений. Найдём значения параметра a, при которых парабола проходит через граничные точки полуокружности:

точка ( минус 5; 2):
2=25a плюс 3 равносильно a= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 25 ;
точка ( минус 5; 6):
6=25a плюс 3 равносильно a= дробь, числитель — 3, знаменатель — 25 .

Значит,

— при a меньше минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 25 система не имеет решений;

— при  минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 25 меньше или равно a меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 25 система имеет одно решение;

— при a больше дробь, числитель — 3, знаменатель — 25 система не имеет решений.

 

Ответ:  минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 25 меньше или равно a меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 25 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288.