Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 528990

В остроугольном треугольнике ABC угол А равен 40°, отрезки BB1 и CC1 — высоты, точки B2 и С2 — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B1C2 и C1B2 пересекаются в точке K.

а) Докажите, что точки B1, B2, С1 и С2 лежат на одной окружности.

б) Найдите угол B1KB2.

Решение.

а) Заметим, что точки B, C1, B1, C лежат на одной окружности с диаметром BC. Поэтому

\angle ACB плюс \angle BC_1B_1=180 в степени circ,

\angle C_2C_1B_1=180 в степени circ минус \angle BC_1B_1=\angle ACB.

Прямые C2B2 и BC параллельны, значит,

\angle C_2B_2B_1=180 в степени circ минус \angle ACB,

\angle C_2C_1B_1 плюс \angle C_2B_2B_1=180 в степени circ.

Следовательно, точки B1, B2, C1, C2 лежат на одной окружности.

б) В треугольнике AC1C отрезок C1B2 — медиана, проведённая к гипотенузе. Значит,

C_1B_2= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AC=AB_2,

тогда \angle AC_1B_2=40 в степени circ, откуда \angle C_1B_2B_1=40 в степени circ плюс 40 в степени circ=80 в степени circ.

В треугольнике AB1B B1C2 — медиана, проведённая к гипотенузе. Значит,

B_1C_2= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB=AC_2,

тогда \angle C_2B_1A_1=40 в степени circ.

Наконец,

\angle B_2KB_1=180 в степени circ минус \angle KB_2B_1 минус \angle B_2B_1K=180 в степени circ минус 80 в степени circ минус 40 в степени circ=60 в степени circ.

Ответ: 60°.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288.