Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 528993

На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а) Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в) Пусть P — среднее арифметическое всех 13 чисел, Q — седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения P − Q.

Решение.

а) Если наименьшее число равно 5, то сумма семи наименьших чисел не меньше 5 плюс 6 плюс 7 плюс 8 плюс 9 плюс 10 плюс 11=56, а их среднее арифметическое больше 7.

б) Пусть сумма шести наименьших чисел равна А, седьмое по величине число равно Q, а сумма шести наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех тринадцати чисел равно 12. Тогда получаем:

Q плюс C=112, A плюс Q плюс C=156, A плюс Q=49,

откуда Q=5. Это невозможно, поскольку перед Q должно быть еще шесть различных натуральных чисел.

в) Имеем: A плюс Q=49, Q плюс C=112. Получаем:

P минус Q= дробь, числитель — A плюс Q плюс C, знаменатель — 13 минус Q= дробь, числитель — (A плюс Q) плюс (Q плюс C) минус 14Q, знаменатель — 13 = дробь, числитель — 161 минус 14Q, знаменатель — 13 .

Значит, нужно найти наименьшее значение Q.

Пусть числа, написанные на доске, равны a_1, a_2,..., a_{13}, причем a_1 меньше a_2 меньше ... меньше a_{13}. Тогда a_1 плюс 6 меньше или равно a_2 плюс 5 меньше или равно a_3 плюс 4 меньше или равно a_4 плюс 3 меньше или равно a_5 плюс 2 меньше или равно a_6 плюс 1 меньше или равно a_7= Q, откуда

a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 плюс a_5 плюс a_6 плюс a_7 плюс 21 меньше или равно 7Q равносильно 70 меньше или равно 7Q равносильно Q больше или равно 10.

 

Покажем, что число Q может равняться 10. Например, если на доске написаны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 37, то условия задачи выполнены и Q=10. Таким образом, P минус Q= дробь, числитель — 161 минус 14Q, знаменатель — 13 = дробь, числитель — 21, знаменатель — 13 .

 

Ответ: а) нет, б) нет, в)  дробь, числитель — 21, знаменатель — 13 .


Аналоги к заданию № 520851: 528993 520789 Все

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288.