Ре­ше­ние. а)  Если наи­мень­шее число равно 5, то сумма семи наи­мень­ших чисел не мень­ше а их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское боль­ше 7.

б)  Пусть сумма шести наи­мень­ших чисел равна А, седь­мое по ве­ли­чи­не число равно Q, а сумма шести наи­боль­ших чисел равна С. Пред­по­ло­жим, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех три­на­дца­ти чисел равно 12. Тогда по­лу­ча­ем:

от­ку­да Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку перед Q долж­но быть еще шесть раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

в)  Имеем: По­лу­ча­ем:

Зна­чит, нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние Q.

Пусть числа, на­пи­сан­ные на доске, равны при­чем Тогда от­ку­да

По­ка­жем, что число Q может рав­нять­ся 10. На­при­мер, если на доске на­пи­са­ны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 37, то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны и Таким об­ра­зом,

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)