Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д6 C2 № 528988

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка M — середина стороны BC.

а) Докажите, что прямая A1C параллельна плоскости, проходящей через точки A, M и B1.

б) Найдите расстояние от прямой A1C до плоскости AMB1, если параллелепипед прямоугольный и AB = 5, AD = 4, AA1 = 2.

Решение.

а) Проведём отрезок A1B — диагональ грани AA1B1B. Пусть N — точка пересечения диагоналей, тогда N — середина A1B. В треугольнике A1BC отрезок MN — средняя линия (лежит в плоскости AB1M), следовательно, прямые MN и A1C параллельны. Тогда прямая A1C параллельна плоскости AMB1.

б) Проведём через точку C прямую, параллельную B1M, а через точку A1 прямую, параллельную AB1. Так как BM=MC, а BN=NA, они пересекутся в одной точке на прямой BB1. Назовём эту точку B2 и заметим, что BB_1=B_1B_2. Точку пересечения прямой A_1B_2 с ребром AB назовём A2. Заметим, что плоскость A2B2C параллельна плоскости AB1M, и при этом плоскость A2B2C содержит прямую A1C. Расстояние от прямой A1C до плоскости AB1M равно расстоянию между плоскостями A2B2C и AB1M и равно разности между длинами высот подобных пирамид BA2B2C и BAB1M. Коэффициент подобия этих пирамид k=2. Значит, искомое расстояние равно высоте пирамиды BAB1M. Вычислим объем пирамиды BAB1M:

V_{BAB_1M}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на AB умножить на BM умножить на BB_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 умножить на 5 умножить на 2 умножить на 2= дробь, числитель — 10, знаменатель — 3 .

Посчитаем объём другим способом. В треугольнике AB1M: B_1M=2 корень из { 2}, AM=AB_1= корень из { 29}, откуда

S_{AB_1M}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 2 корень из { 2} умножить на корень из { 29 минус 2}=3 корень из { 6}.

Тогда

h_{AB_1M}= дробь, числитель — 3V_{BAB_1M}, знаменатель — S_{AB_1M }= дробь, числитель — 3 умножить на \tfrac{10, знаменатель — 3 }{3 корень из { 6}}= дробь, числитель — 10 корень из { 6}, знаменатель — 18 = дробь, числитель — 5 корень из { 6}, знаменатель — 9 .

Ответ:  дробь, числитель — 5 корень из { 6}, знаменатель — 9 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288.